Числовые характеристики НСВ

Краткие сведения из теории.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х с плотностью вероятности f (x) находится по формуле

$M(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} x\cdot f(x) dx.$

При этом математическое ожидание существует, если интеграл в правой части формулы абсолютно сходится, это значит, что сходится интеграл

$\int_{-\infty}^{\infty} |x|\cdot f(x) dx.$

Дисперсия непрерывной случайной величины Х с плотностью вероятности f (x) находится по формуле

$D(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} {(x-a)}^2\cdot f(x) dx$

или

$D(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} x^2\cdot f(x) dx-{(M(X))}^2.$

Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется число $\sigma(X)$ , определяемое равенством

$\sigma(X)=\sqrt{D(X)}$ .
Величина $\sigma(X)$ неотрицательна и имеет ту же размерность, что и СВ Х.

Практический материал.

1. Дана плотность распределения вероятностей случайной величины Х:

$\begin{displaymath} f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0, & x\le 0,\\ \frac{1}{8}\cdot x, & 0\le x \le 4,\\ 0, & x\ge4. \end{array} \right. \end{displaymath}$

Найти: $M(X), D(X), \sigma(X).$

Решение.

$M(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} x\cdot f(x) dx=\int_{-\infty}^{0} x\cdot 0 dx+\int_{0}^{4} x\cdot \frac18\cdot x dx+$

$+\int_{4}^{+\infty} x\cdot 0 dx=\frac18\int_{0}^{4} x^2 dx=\frac18\cdot \frac{x^3}{3}|_{0}^{4}=\frac83;$

$D(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} x^2\cdot f(x) dx-{(M(X))}^2=\int_{0}^{4} x^2 \cdot \frac18 x dx-\frac{64}{9}=$

$=\frac18\cdot \frac{x^4}{4}|_{0}^{4}=8-\frac{64}{9}=\frac89;$

$\sigma(X)=\sqrt{D(X)}=\sqrt{\frac89}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$

2. Плотность распределения СВ Х задана в виде

$\begin{displaymath} f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0, & x\le 0\\ \frac{1}{2}\cdot sin x, & 0\le x <\pi,\\ 0, & x\ge\pi. \end{array} \right. \end{displaymath}$

Найти: $M(X), D(X).$

Решение.

Найдем математическое ожидание:

$M(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} x\cdot f(x) dx=\frac12\int_{0}^{\pi} x\cdot sinx dx=$

$=\left|U=x, dU=dx, dV=sinxdx, V=\int sinx dx=-cosx\right|=$

$=\frac12\left(-x\cdot cosx\bigg|_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi} (-cosx)dx\right)=\frac12(-\pi\cdot cos\pi-(-0\cdot cos0)+$

$+sinx\bigg|_{0}^{\pi})=\frac12(-\pi(-1)+0+sin\pi-sin\pi)=\frac12(\pi+0)=\frac{\pi}{2};$

Вычислим дисперсию:

$D(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} x^2\cdot f(x) dx-{(M(X))}^2=\int_{0}^{\pi} x^2\cdot \frac12\cdot sinx dx-$

$-{(\frac{\pi}{2})}^2=\frac12\int_{0}^{\pi} x^2\cdot sinx dx-\frac{{\pi}^2}{4}=$

$=\left|U=x^2, dU=2xdx, dV=sinxdx, V=\int sinx dx=-cosx\right|=$

$=\frac12\left(-x^2\cdot cosx\bigg|_{0}^{\pi}+2\int_{0}^{\pi} x\cdot cosx dx\right)-\frac{{\pi}^2}{4}=$

$=\left|U=2x, dU=2dx, dV=cosxdx, V=\int cosx dx=sinx\right|=$

$=\frac12\left(-{\pi}^2\cdot cos \pi +0+\left(2x\cdot sinx\bigg|_{0}^{\pi}-2\int_{0}^{\pi} sinx dx\right)\right)-\frac{{\pi}^2}{4}=$

$=\frac12\left({\pi}^2+2\pi\cdot sin\pi - 2\cdot 0\cdot sin0+2cosx\bigg|_{0}^{\pi}\right)-\frac{{\pi}^2}{4}=$

$=\frac12 \left({\pi}^2+2cos\pi -2cos0\right)-\frac{{\pi}^2}{4}=\frac12 ({\pi}^2-4)-\frac{{\pi}^2}{4}=\frac{{\pi}^2}{4}-2.$

3. Известна плотность вероятности случайной величины Х

$\begin{displaymath} f (x) = \left\{ \begin{array}{ll} Cx, & x\in [0,1],\\ C, & x\notin [1,2],\\ 0, & x\notin [0,2]. \end{array} \right. \end{displaymath}$

а) Найти: $C; F(x); M(X); D(X); \sigma(X); P[|X-M(X)|<\sigma(X)].$

б) Построить графики $f(x); F(x).$

Решение.

а)

a.1. Для нахождения С используем равенство

$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx=1$

$\int_{-\infty}^{0} 0 dx+\int_{0}^{1} Cx dx+\int_{1}^{2} C dx+\int_{2}^{+\infty} 0 dx=1$

$0+\frac{Cx^2}{x}\left|_0^1+Cx\left|_1^2+0=1$

$\frac{C}{2}+C=\frac32\cdot C=1.$

Отсюда $C=\frac23.$

a.2. Поскольку $F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t) dt$ , то

при $x\le0$

$F(x)=\int_{-\infty}^{x} 0 dt=0$

при $0< x \le 1$

$F(x)=\int_{-\infty}^{0} 0 dt+\int_{0}^{x} \frac23 t dt=\frac23\int_{0}^{x} t dt=\frac23\cdot \frac{t^2}{2}\bigg|_0^x=$

$=\frac13\cdot t^2\bigg|_0^x=\frac13(x^2-0^2)=\frac{x^2}{3};$

при $1< x \le 2$

$F(x)=\int_{-\infty}^{0} 0 dt+\int_{0}^{1} \frac23 t dt+\int_{1}^{x} \frac23 dt=0+\frac23\int_{0}^{1} t dt+\frac23\int_{1}^{x} t dt=$

$=\frac23\cdot \frac{t^2}{2}\bigg|_0^1+\frac23\cdot t \bigg|_1^x=\frac13(1^2-0^2)+\frac23 (x-1)=\frac{2x-1}{3};$

при $x > 2$

$F(x)=\int_{-\infty}^{0} 0 dt+\int_{0}^{1} \frac23 t dt+\int_{1}^{2} \frac23 dt+\int_{2}^{x} 0 dt=0+\frac23\int_{0}^{1} t dt+$

$+\frac23\int_{1}^{x} dt+0=\frac23\cdot \frac{t^2}{2}\bigg|_0^1+\frac23\cdot t \bigg|_1^2=\frac13(1^2-0^2)+\frac23 (2-1)=1.$

Итак,

$\begin{displaymath} F(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0, & x\le 0;\\ \frac{x^2}{3}, & 0<x \le 1;\\ \frac{2x-1}{3}, & 1<x\le 2;\\ 1, & x>2. \end{array} \right. \end{displaymath}$

a.3. Найдем математическое ожидание:

$M(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} x\cdot f(x) dx=\int_{-\infty}^{0} x \cdot 0 dx+\int_{0}^{1} x\cdot \frac23\cdot x dx+\int_{1}^{2} x\cdot \frac23 dx+\int_{2}^{+\infty} x\cdot 0 dx=$

$=0+\frac23\int_{0}^{1} x^2 dx+\frac23\int_{1}^{2} x dx+0=\frac23\cdot \frac{x^3}{3}\bigg|_0^1+\frac23\cdot \frac{x^2}{2}\bigg|_1^2=$

$=\frac29(1^3-0^3)+\frac13 (2^2-1^2)=\frac29+\frac33=\frac{2+9}{9}=\frac{11}{9}\approx 1,22;$

a.4. Найдем дисперсию:

$D(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} x^2\cdot f(x) dx-{(M(X))}^2=\int_{-\infty}^{0} x^2 \cdot 0 dx+\int_{0}^{1} x^2\cdot \frac23\cdot x dx+$

$+\int_{1}^{2} x^2\cdot \frac23 dx+\int_{2}^{+\infty} x^2\cdot 0 dx-\frac{121}{81}=0+\frac23\int_{0}^{1} x^3\cdot dx+\frac23\int_{1}^{2} x^2 dx+0-\frac{121}{81}=$