fbpx

Дискретные случайные величины

I. Определение случайной величины (СВ), дискретной случайной величины (ДСВ). Закон и многоугольник распределения ДСВ

При бросании игральной кости могут появиться числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Заранее определить возможные исходы невозможно, так как они зависят от многих случайных причин, которые не могут быть полностью учтены. В данном примере выпавшее число очков есть величина случайная, а числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6 есть возможные значения этой величины.

Случайная величина - величина, которая в результате опыта со случайным исходом принимает то или иное числовое значение, причем заранее неизвестно, какое именно. Случайные величины (кратко: СВ) обозначают большими латинскими буквами X,  Y, ..., а принимаемые ими значения — малыми буквами x_1, x_2, \cdots , y_1, y_2, \cdots

Из приведенного выше  примера, видно, что случайная величина Х может принять одно из следующих возможных значений: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Эти значения отделены одно от другого промежутками, в которых нет возможных значений Х. Таким образом, в этом примере СВ принимает отдельные, изолированные возможные значения.

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

Закон распределения ДСВ Х удобно задавать с помощью следующей таблицы

x_i x_1 x_2 \cdots x_n \cdots
p_i p_n p_n \cdots p_n \cdots

называемой рядом распределения. При этом возможные значения x_1,\quad x_2, \cdots СВ Х в верхней строке этой таблицы располагаются в определенном порядке, а в нижней — соответствующие вероятности p_i=P\{X=x_i\} \quad (\sum_i p_i=1).

Графически ряд распределения изображают в виде многоугольника (или полигона) распределения.

1.1. В ящике 2 нестандартные и 4 стандартные детали. Из него последовательно вынимают детали до первого появления стандартной детали. Построить ряд и многоугольник распределения ДСВ X — числа извлеченных деталей.

Решение.

Рассмотрим все возможные значения, которые может принимать случайна величина (СЛ) X:

x_1=1 - первой вынули  стандартную деталь;

x_2=2 — первая вынутая деталь нестандартная, вторая стандартная;

x_3=3 — первая деталь нестандартная, вторая деталь нестандартная, третья деталь стандартная.

Соответствующие им вероятности p_1,  p_2, p_3 найдем воспользовавшись правилом умножения вероятностей (заметьте, что события зависимы):

p_1=P\{X=x_1=1\}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}

p_2=P\{X=x_2=2\}=\frac{2}{6}\cdot \frac{4}{5}=\frac{4}{15}

p_3=P\{X=x_3=3\}=\frac{2}{6}\cdot \frac{1}{5}\cdot \frac{4}{4}=\frac{1}{15}

Тогда закон распределения дискретной случайной величины Х примет вид:

x_i 1 2 3
p_i \frac{2}{3} \frac{4}{15} \frac{1}{15}

Построим многоугольник распределения, отложив на оси абсцисс (ОХ) значения ДСВ Х, а на оси ординат (ОY) соответствующие им вероятности:

Дискретные случайные величины

1.2. В партии, содержащей 20 изделий, имеется четыре изделия с дефектами. Наудачу отобрали три изделия для проверки их качества. Построить ряд распределения числа дефектных изделий, содержащихся в указанной выборке.

Решение.

X — число дефектных изделий, содержащихся в выборке.

Рассмотрим все возможные значения, которые может принимать случайна величина (СЛ) X:

x_1=0 — ни одно изделие выборки не является дефектным, т.е. все изделия удовлетворяют стандарту;

x_2=1 — выборка содержит одно изделие с дефектом и два стандартных изделия;

x_3=2 — выборка содержит два изделия с дефектом и одно стандартное изделие;

x_4=3 — выборка содержит три изделия с дефектом;

Найдем соответствующие им вероятности p_1,  p_2, p_3, p_4:

    \[p_1=P(X=0)=\frac{C_{16}^3\cdot C_{4}^0}{C_{20}^3}\]

    \[p_2=P(X=1)=\frac{C_{16}^2\cdot C_{4}^1}{C_{20}^3}\]

    \[p_3=P(X=2)=\frac{C_{16}^1\cdot C_{4}^2}{C_{20}^3}\]

    \[p_4=P(X=3)=\frac{C_{16}^0\cdot C_{4}^3}{C_{20}^3}\]

Тогда закон распределения дискретной случайной величины Х примет вид:

x_i 0 1 2 3
p_i \frac{28}{57} \frac{8}{19} \frac{8}{95} \frac{1}{285}

1.3. Три стрелка, ведущие огонь по цели, сделали по одному выстрелу. Вероятности их попадания в цель соответственно равны 0,5; 0,6; 0,8. Построить ряд и многоугольник  распределения СВ X — числа попаданий в цель.

Решение.

Пусть вероятности попадания для 1-го, 2-го и 3-го стрелков соответственно равны h_1=0,5;\quad h_2=0,6;\quad h_3=0,8, тогда вероятности их промахов равны g_1=0,5;\quad g_2=0,4;\quad g_3=0,2. Из предыдущих занятий должны помнить как связаны противоположные события: h_1=1-g_1.

Рассмотрим все значения, которые может принять ДСВ Х - числа попаданий в цель.

x_0=0 - ни один из стрелков не попал в цель;

x_1=1 - один из стрелков попал в цель;

x_2=2 - двое стрелков поразили цель;

x_3=3 - три стрелка поразили цель.

Найдем соответствующие им вероятности p_0, p_1, p_2, p_3:

p_0=P\{X=0\}=g_1 \cdot g_2 \cdot g_3 =0,5\cdot 0,4 \cdot 0,2=0,04;

p_1=P\{X=1\}=h_1 \cdot g_2 \cdot g_3+g_1 \cdot h_2 \cdot g_3 +g_1 \cdot g_2 \cdot h_3=\\ =0,5\cdot 0,4 \cdot 0,2+0,5\cdot 0,6 \cdot 0,2+0,5\cdot 0,4 \cdot 0,8=0,04+0,06+0,16=0,26.

Запись вида h_1 \cdot g_2 \cdot g_3 означает, что 1-й стрелок попал, два других промахнулись, аналогичные рассуждения применимы к другим слагаемым.

p_2=P\{X=2\}=h_1 \cdot h_2 \cdot g_3+g_1 \cdot h_2 \cdot h_3 +h_1 \cdot g_2 \cdot h_3=\\ =0,5\cdot 0,6 \cdot 0,2+0,5\cdot 0,6 \cdot 0,8+0,5\cdot 0,4 \cdot 0,8=0,06+0,24+0,16=0,46 — (двое из трех поразили цель);

p_3=P\{X=3\}=h_1 \cdot h_2 \cdot h_3=0,5\cdot 0,6 \cdot 0,8=0,24 — (три стрелка поразили цель).

Контроль: \sum_{i=0}^3=0,04+0,26+0,46+0,24=1

x_i 0 1 2 3
p_i 0,04 0,26 0,46 0,24

Многоугольник распределения:

Дискретные случайные величины

Функция распределения F(x)

Функцией распределения называют функцию F(x) , определяющую вероятность того, что случайная величина X в результате испытания примет значение, меньшее некоторого фиксированного значения x

    \[F(x)=P(X<x)\]

Свойства функции распределения:

  1.  0 \le F(x) \le 1;
  2.  F(x) - неубывающая функция, т.е. F(x_2) \ge F(x_1),  если x_2>x_1;
  3.  F(-\infty)=0, \quad F(+\infty)=1;
  4.  F(x) непрерывна слева в любой точке x, т.е. F(x-0)=F(x), \quad x \in R;
  5.  P\{a\le X <b\}=F(b)-F(a).

Функция распределения ДСВ имеет вид

    \[F(x)=\sum_{x_i<x} p_i\]

где суммирование ведется по всем индексам i, для которых x_i<x.

1.4. Задан закон распределения ДСВ Х:

x_i -2 -1 0 2 3
p_i 0,1 0,2 0,3 0,3 0,1

Найти функцию распределения и построить ее график.

Решение.

По определению функции распределения находим:

если x\le -2, то F(x)=P\{X<x\}=0, так как значения меньше -2 ДСВ Х не принимает;

если -2<x\le -1, то F(x)=P\{X<x\}=P\{X=-2\}=0,1

если -1<x\le 0, то F(x)=P\{X<x\}=P\{X=-2\}+P\{X=-1\}=0,1+0,2=0,3, так как X может принять значения -2 или -1

если 0<x\le 2, то F(x)=P\{X<x\}=P\{X=-2\}+P\{X=-1\}+P\{X=0\}=0,1+0,2+0,3=0,6

если 2<x\le 3, то F(x)=P\{X<x\}=P\{X=-2\}+P\{X=-1\}+P\{X=0\}+P\{X=2\}=0,1+0,2+0,3+0,3=0,9

если x\ge 3, то F(x)=P\{X<x\}=P\{X=-2\}+P\{X=-1\}+P\{X=0\}+\\+P\{X=2\}+P\{X=3\}=0,1+0,2+0,3+0,3+0,1=1

Таким образом, функция распределения F(x) имеет вид:

    \begin{displaymath} F(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0, \qquad  x\le -2 , \\ 0,1,  \qquad -2< x \le -1,\\ 0,3, \qquad  -1< x \le 0,\\ 0,6, \qquad 0< x \le 2,\\ 0,9, \qquad  2< x \le 3, \\ 1, \qquad  x>3. \end{array} \right. \end{displaymath}

Дискретные случайные величины

II. Операции над дискретными случайными величинами

Суммой (соответственно, разностью или произведением) ДСВ Х, принимающей значения x_i с вероятностями p_i=P\{X=x_i\}, \quad i=1,2, ... , n и ДСВ Y, принимающей значения y_j с вероятностями q_j=P\{Y=y_j\}, \quad j=1,2, ... , m называется ДСВ, принимающая все значения вида x_i+y_j (соответственно, x_i-y_j или x_i\cdot y_j) с вероятностями p_{ij}=P\{\{X=x_i\}\cdot \{Y=y_j\}\}=P\{X=x_i,\quad Y=y_j\}.

Обозначение: X+Y (соответственно, X-Y или X\cdot Y).

Произведением ДСВ Х на число c называется ДСВ  cX, принимающая значения cx_i с вероятностями p_i=P\{X=x_i\}.

Квадратом (соответственно, m-ой степенью) ДСВ Х называется ДСВ, принимающая значения x_i^2 (соответственно, x_i^m) с вероятностями p_i=P\{X=x_i\}. Обозначение: X^2 (соответственно, X^m).

Дискретные СВ Х и Y называются независимыми, если независимы события \{X=x_i\} и \{Y=y_j\} при любых i=1, 2, 3, ... , n, \quad j=1, 2, ..., m.

2.1. Задано распределение ДСВ Х

x_i -2 -1 1 2 3
p_i 0,2 0,25 0,3 0,15 0,1

Построить ряд распределения случайных величин:

а) Y=2X

б) Z=X^2

Решение.

Возможные значения СВ Y таковы:

    \[y_1=2 \cdot (-2)=-4\]

    \[y_2=2 \cdot (-1)=-2\]

    \[y_3=2\]

    \[y_4=4\]

    \[y_5=6\]

Вероятности значений СВ Y равны вероятностям соответствующих значений СВ Х (например, P\{Y=-4\}=P\{X=-2\}=0,20 и т. д.), т.е. каждое значение СВ Х мы умножаем на 2, а вероятности оставляем прежними. Таким образом

y_i -4 -2 2 4 6
p_i 0,2 0,25 0,3 0,15 0,1

б) Значения СВ Z таковы (возведем каждое значение СВ Х в квадрат): 

    \[z_1={(-2)}^2=4;  z_2={(-1)}^2=1,\]

    \[z_3=1^2=1;  z_4=2^2=4;  z_5=3^2=9\]

Составим вспомогательную таблицу для распределения СВ X^2

x_i^2 4 1 1 4 6
p_i 0,2 0,25 0,3 0,15 0,1

При этом мы должны помнить, что при одинаковых значениях СВ Z, соответствующие им вероятности нужно сложить, т.е.

    \[P\{Z=1\}=P\{X^2=1\}=P\{X=-1\}+P\{X=1\}=0,25+0,3=0,55;\]

    \[P\{Z=4\}=P\{X^2=4\}=P\{X=-2\}+P\{X=2\}=0,20+0,15=0,35.\]

Поэтому ряд распределения СВ Z имеет вид

z_i 1 4 9
p_i 0,55 0,35 0,1

2.2. Дискретная случайная величина Х имеет ряд распределения:

x_i 0 \frac{\pi}{4} \frac{\pi}{2} \frac{3\pi}{4} \pi \frac{5\pi}{4} \frac{3\pi}{2}
p_i \frac{1}{16} \frac{1}{8} \frac{3}{16} \frac{1}{4} \frac{3}{16} \frac{1}{8} \frac{1}{16}

Построить:

а) ряд распределения СВ Y=sin(X-\frac{\pi}{4});

б) График функции распределения СВ Y

Решение.

а) Вычисляем все значения y_i СВ Y,  подставляя соответствующие значения x_i в формулу Y=sin(X-\frac{\pi}{4}):

y_1=sin\left(0-\frac{\pi}{4}\right)=sin(-\frac{\pi}{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}

y_2=sin(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4})=sin(0)=0

y_3=sin(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4})=sin(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}

y_4=sin(\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{4})=sin(\frac{\pi}{2})=1

y_5=sin(\pi-\frac{\pi}{4})=sin(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}

y_6=sin(\frac{5\pi}{4}-\frac{\pi}{4})=sin(\pi)=0

y_7=sin(\frac{3\pi}{2}-\frac{\pi}{4})=-cos(\frac{\pi}{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}

Составим вспомогательную таблицу ряда распределения:

y_i -\frac{\sqrt{2}}{2} 0 \frac{\sqrt{2}}{2} 1 \frac{\sqrt{2}}{2} 0 -\frac{\sqrt{2}}{2}
p_i \frac{1}{16} \frac{1}{8} \frac{3}{16} \frac{1}{4} \frac{3}{16} \frac{1}{8} \frac{1}{16}

Составим ряд распределения.

При этом

P\{Y=-\frac{\sqrt{2}}{2}\}=P\{X=0\}+P\{X=\frac{3\pi}{2}\}=\frac{1}{16}+\frac{1}{16}=\frac{1}{8}

P\{Y=0\}=P\{X=\frac{\pi}{4}\}+P\{X=\frac{5\pi}{4}\}=\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{4}

P\{Y=\frac{\sqrt{2}}{2}\}=P\{X=\frac{\pi}{2}\}+P\{X=\pi\}=\frac{3}{16}+\frac{3}{16}=\frac{3}{8}

Т. е. записываем значения ДСВ Y в таблицу в порядке возрастания. При одинаковых значениях ДСВ соответствующие вероятности складываем.

Итак, получаем

y_i -\frac{\sqrt{2}}{2} 0 \frac{\sqrt{2}}{2} 1
p_i \frac{1}{8} \frac{1}{4} \frac{3}{8} \frac{1}{4}

б) Самостоятельно.

2.3. Заданы распределения двух независимых случайных величин X и Y:

x_i 0 1 2
p_i 0,2 0,4 0,4
y_i 2 3 4
p_i 0,3 0,3 0,4

Найти:

а) функцию распределения СВ Х;

б) ряд распределения случайных величин Z=X+Y,  \quad W=X-Y, \quad V=X \cdot Y;

в) P(|X-Y|\le 2);

г) построить многоугольники распределения СВ Z ,W и V.

Решение.

а) Найдите функцию распределения СВ Х самостоятельно.

б) Найдем всевозможные значения z_{ij}=x_{i}+y_{j}, т. е. просуммируем все значения, которые принимает ДСВ Х, со всеми значениями ДСВ Y.

Предлагаю сделать это так, первое значение ДСВ Х сложить  последовательно с каждым значением ДСВ Y, потом то же самое проделать со вторым значением ДСВ Х и с третьим. Все операции показаны в таблице ниже.

0+2=2 1+2=3 2+2=4
0+3=3 1+3=4 2+3=5
0+4=4 1+4=5 2+4=6

Т. е. случайная величина Z принимает значения:

    \[z_1=2, \quad z_2=3, \quad z_3=4, \quad z_4=5, \quad z_5=6\]

Найдем вероятности этих значений:

    \[p_1=P\{Z=2\}=P\{X=0,Y=2\}\]

Запись вида P\{X=0,Y=2\} означает вероятность наступления 2-х независимых событий {X=0} и {Y=2}, т. е.

p_1=P\{X=0,Y=2\}=P\{\{X=0\}\cdot \{Y=2\}\}=P\{X=0\}\cdot P\{Y=2\}=0,2\cdot 0,3=0,06

Для нахождения вероятностей p_2, \quad p_3, \quad p_4 воспользуемся правилом сложения несовместных событий:

p_2=P\{Z=3\}=P\{X=0,Y=3\}+P\{X=1,Y=2\}=0,2\cdot 0,3+0,4\cdot 0,3=0,06+0,12=0,18;

p_3=P\{Z=4\}=P\{X=0,Y=4\}+P\{X=1,Y=3\}+P\{X=2,Y=2\}=0,2\cdot 0,4+ \\ +0,4\cdot 0,3+0,4\cdot 0,3=0,08+0,12+0,12=0,32;

p_4=P\{Z=5\}=P\{X=1,Y=4\}+P\{X=2,Y=3\}=0,4\cdot 0,4+0,4\cdot 0,3=0,16+0,12=0,28;

p_5=P\{Z=6\}=P\{X=2,Y=4\}=0,4\cdot 0,4=0,16

Запишем ряд распределения ДСВ Z

z_i 2 3 4 5 6
p_i 0,06 0,18 0,32 0,28 0,16

Сделаем проверку:

\sum_{i=1}^{5} p_{i}=0,06+0,18+0,32+0,28+0,16=1.

Многоугольник распределения СВ Z представлен ниже:

Дискретные случайные величины

Далее рассмотрим ДСВ W=X-Y

Найдем всевозможные значения w_{ij}=x_{i}-y_{j}.

Все вычисления сведены в  таблицу ниже.

0-2=-2 1-2=-1 2-2=0
0-3=-3 1-3=-2 2-3=-1
0-4=-4 1-4=-3 2-4=-2

Таким образом случайная величина W принимает значения:

    \[w_1=-4, \quad w_2=-3, \quad w_3=-2, \quad w_4=-1, \quad w_5=0\]

Замечание. Как вы видите, я выписал для удобства все значения СДВ W в порядке возрастания, так как при составления ряда распределения их (значения случайной величины) нужно располагать по возрастанию.

Найдем вероятности этих значений:

p_1=P\{W=-4\}=P\{X=0,Y=4\}=0,2\cdot 0,4=0,08

p_2=P\{W=-3\}=P\{X=0,Y=3\}+P\{X=1,Y=4\}=0,2\cdot 0,3+0,4\cdot 0,4=0,06+0,16=0,22;

p_3=P\{W=-2\}=P\{X=0,Y=2\}+P\{X=1,Y=3\}+P\{X=2,Y=4\}=0,2\cdot 0,3+ \\ +0,4\cdot 0,3+0,4\cdot 0,4=0,06+0,12+0,16=0,34;

p_4=P\{W=-1\}=P\{X=1,Y=2\}+P\{X=2,Y=3\}=0,4\cdot 0,3+0,4\cdot 0,3=0,12+0,12=0,24;

p_5=P\{W=0\}=P\{X=2,Y=4\}=0,4\cdot 0,3=0,12

Запишем ряд распределения ДСВ W

w_i -4 -3 -2 -1 0
p_i 0,08 0,22 0,34 0,24 0,12

Сделаем проверку: \sum_{i=1}^{5} p_{i}=0,08+0,22+0,34+0,24+0,12=1

Многоугольник распределения СВ W представлен ниже:

Дискретные случайные величины

По аналогии с предыдущими пунктами найдем все значения ДСВ V :  v_{ij}=x_{i}\cdot y_{j}.  Все вычисления сведены в  таблицу ниже.

0·2=0 1·2=2 2·2=4
0·3=0 1·3=3 2·3=6
0·4=0 1·4=4 2·4=8

Таким образом случайная величина V принимает значения: 

    \[v_1=0, \quad v_2=2, \quad v_3=3, \quad v_4=4, \quad v_5=6 \quad v_6=8\]

Найдем вероятности этих значений:

p_1=P\{V=0\}=P\{X=0,Y=2\}+P\{X=0,Y=3\}+P\{X=0,Y=4\}=0,2\cdot 0,3+0,2\cdot 0,3+0,2\cdot 0,4=0,06+0,06+0,08=0,2;

p_2=P\{V=2\}=P\{X=1,Y=2\}=0,4\cdot 0,3=0,12

p_3=P\{V=3\}=P\{X=1,Y=3\}=0,4\cdot 0,3=0,12

p_4=P\{V=4\}=P\{X=1,Y=4\}+P\{X=2,Y=2\}=0,4\cdot 0,4+0,4\cdot 0,3=0,16+0,12=0,28;

p_5=P\{V=6\}=P\{X=2,Y=3\}=0,4\cdot 0,3=0,12

p_6=P\{V=8\}=P\{X=2,Y=4\}=0,4\cdot 0,4=0,16

Запишем ряд распределения ДСВ V

v_i 0 2 3 4 6 8
p_i 0,2 0,12 0,12 0,28 0,12 0,16

Сделаем проверку: \sum_{i=1}^{5} p_{i}=0,2+0,12+0,12+0,28+0,12+0,16=1

Многоугольник распределения СВ V представлен ниже:

Дискретные случайные величины

в) Найдем  P\{|X-Y| \le 2\}. Пусть M=|X-Y|.

Построим ряд распределения ДСВ М, используя абсолютные величины значений ДСВ W=X-Y, иными словами возьмем по модулю все значения ДСВ W, например, m_1=|w_1|=|-4|=4.

Получим ряд

m_i 0 1 2 3 4
p_i 0,12 0,24 0,34 0,22 0,08

Найдем вероятности всех значений ДСВ М, которые меньше, либо равны 2

P\{|X-Y| \le 2\}=P\{M \le 2\}=P\{M =0\}+P\{M=1\}+P\{M=2\}=0,12+0,24+0,34=0,7.

Список использованной литературы:

  1. Лунгу, К. Н. Сборник задач по высшей математике, 2 курс [Текст]/ К.Н. Лунгу, В.П. Норин, Д.Т. Письменный, Ю.А. Шевченко, Е.Д. Куланин; под редакцией С.Н. Федина.7-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 592с.
  2. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст]/ В.Е. Гмурман, 12-е изд., перераб. — М.: Высшее образование, Юрайт-Издат, 2009. — 479с.
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: