Дискретные случайные величины

Содержание

I. Определение случайной величины (СВ), дискретной случайной величины (ДСВ). Закон и многоугольник распределения ДСВ
Функция распределения
II. Операции над дискретными случайными величинами

I. Определение случайной величины (СВ), дискретной случайной величины (ДСВ). Закон и многоугольник распределения ДСВ

При бросании игральной кости могут появиться числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Заранее определить возможные исходы невозможно, так как они зависят от многих случайных причин, которые не могут быть полностью учтены. В данном примере выпавшее число очков есть величина случайная, а числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6 есть возможные значения этой величины.

Случайная величина - величина, которая в результате опыта со случайным исходом принимает то или иное числовое значение, причем заранее неизвестно, какое именно. Случайные величины (кратко: СВ) обозначают большими латинскими буквами $X, Y, ...$ , а принимаемые ими значения — малыми буквами $x_1, x_2, \cdots , y_1, y_2, \cdots$

Из приведенного выше примера, видно, что случайная величина Х может принять одно из следующих возможных значений: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Эти значения отделены одно от другого промежутками, в которых нет возможных значений Х. Таким образом, в этом примере СВ принимает отдельные, изолированные возможные значения.

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

Закон распределения ДСВ Х удобно задавать с помощью следующей таблицы

$x_i$	$x_1$	$x_2$	$\cdots$	$x_n$	$\cdots$
$p_i$	$p_n$	$p_n$	$\cdots$	$p_n$	$\cdots$

называемой рядом распределения. При этом возможные значения $x_1,\quad x_2, \cdots$ СВ Х в верхней строке этой таблицы располагаются в определенном порядке, а в нижней — соответствующие вероятности $p_i=P\{X=x_i\} \quad (\sum_i p_i=1)$ .

Графически ряд распределения изображают в виде многоугольника (или полигона) распределения.

1.1. В ящике 2 нестандартные и 4 стандартные детали. Из него последовательно вынимают детали до первого появления стандартной детали. Построить ряд и многоугольник распределения ДСВ $X$ — числа извлеченных деталей.

Решение.

Рассмотрим все возможные значения, которые может принимать случайна величина (СЛ) $X$ :

$x_1=1$ - первой вынули стандартную деталь;

$x_2=2$ — первая вынутая деталь нестандартная, вторая стандартная;

$x_3=3$ — первая деталь нестандартная, вторая деталь нестандартная, третья деталь стандартная.

Соответствующие им вероятности $p_1, p_2, p_3$ найдем воспользовавшись правилом умножения вероятностей (заметьте, что события зависимы):

$p_1=P\{X=x_1=1\}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

$p_2=P\{X=x_2=2\}=\frac{2}{6}\cdot \frac{4}{5}=\frac{4}{15}$

$p_3=P\{X=x_3=3\}=\frac{2}{6}\cdot \frac{1}{5}\cdot \frac{4}{4}=\frac{1}{15}$

Тогда закон распределения дискретной случайной величины Х примет вид:

$x_i$	1	2	3
$p_i$	$\frac{2}{3}$	$\frac{4}{15}$	$\frac{1}{15}$

Построим многоугольник распределения, отложив на оси абсцисс (ОХ) значения ДСВ Х, а на оси ординат (ОY) соответствующие им вероятности:

1.2. В партии, содержащей 20 изделий, имеется четыре изделия с дефектами. Наудачу отобрали три изделия для проверки их качества. Построить ряд распределения числа дефектных изделий, содержащихся в указанной выборке.

Решение.

$X$ — число дефектных изделий, содержащихся в выборке.

Рассмотрим все возможные значения, которые может принимать случайна величина (СВ) $X$ :

$x_1=0$ — ни одно изделие выборки не является дефектным, т.е. все изделия удовлетворяют стандарту;

$x_2=1$ — выборка содержит одно изделие с дефектом и два стандартных изделия;

$x_3=2$ — выборка содержит два изделия с дефектом и одно стандартное изделие;

$x_4=3$ — выборка содержит три изделия с дефектом;

Найдем соответствующие им вероятности $p_1, p_2, p_3, p_4$ :

$p_1=P(X=0)=\frac{C_{16}^3\cdot C_{4}^0}{C_{20}^3}$

$p_2=P(X=1)=\frac{C_{16}^2\cdot C_{4}^1}{C_{20}^3}$

$p_3=P(X=2)=\frac{C_{16}^1\cdot C_{4}^2}{C_{20}^3}$

$p_4=P(X=3)=\frac{C_{16}^0\cdot C_{4}^3}{C_{20}^3}$

Тогда закон распределения дискретной случайной величины Х примет вид:

$x_i$	0	1	2	3
$p_i$	$\frac{28}{57}$	$\frac{8}{19}$	$\frac{8}{95}$	$\frac{1}{285}$

1.3. Три стрелка, ведущие огонь по цели, сделали по одному выстрелу. Вероятности их попадания в цель соответственно равны 0,5; 0,6; 0,8. Построить ряд и многоугольник распределения СВ X — числа попаданий в цель.

Решение.

Пусть вероятности попадания для 1-го, 2-го и 3-го стрелков соответственно равны $h_1=0,5;\quad h_2=0,6;\quad h_3=0,8$ , тогда вероятности их промахов равны $g_1=0,5;\quad g_2=0,4;\quad g_3=0,2$ . Из предыдущих занятий должны помнить как связаны противоположные события: $h_1=1-g_1$ .

Рассмотрим все значения, которые может принять ДСВ Х - числа попаданий в цель.

$x_0=0$ - ни один из стрелков не попал в цель;

$x_1=1$ - один из стрелков попал в цель;

$x_2=2$ - двое стрелков поразили цель;

$x_3=3$ - три стрелка поразили цель.

Найдем соответствующие им вероятности $p_0, p_1, p_2, p_3$ :

$p_0=P\{X=0\}=g_1 \cdot g_2 \cdot g_3 =0,5\cdot 0,4 \cdot 0,2=0,04;$

$p_1=P\{X=1\}=h_1 \cdot g_2 \cdot g_3+g_1 \cdot h_2 \cdot g_3 +g_1 \cdot g_2 \cdot h_3=\\ =0,5\cdot 0,4 \cdot 0,2+0,5\cdot 0,6 \cdot 0,2+0,5\cdot 0,4 \cdot 0,8=0,04+0,06+0,16=0,26.$

Запись вида $h_1 \cdot g_2 \cdot g_3$ означает, что 1-й стрелок попал, два других промахнулись, аналогичные рассуждения применимы к другим слагаемым.

$p_2=P\{X=2\}=h_1 \cdot h_2 \cdot g_3+g_1 \cdot h_2 \cdot h_3 +h_1 \cdot g_2 \cdot h_3=\\ =0,5\cdot 0,6 \cdot 0,2+0,5\cdot 0,6 \cdot 0,8+0,5\cdot 0,4 \cdot 0,8=0,06+0,24+0,16=0,46$ — (двое из трех поразили цель);

$p_3=P\{X=3\}=h_1 \cdot h_2 \cdot h_3=0,5\cdot 0,6 \cdot 0,8=0,24$ — (три стрелка поразили цель).

Контроль: $\sum_{i=0}^3=0,04+0,26+0,46+0,24=1$

$x_i$	0	1	2	3
$p_i$	0,04	0,26	0,46	0,24

Многоугольник распределения:

Функция распределения $F(x)$

Функцией распределения называют функцию $F(x)$ , определяющую вероятность того, что случайная величина $X$ в результате испытания примет значение, меньшее некоторого фиксированного значения $x$

$F(x)=P(X<x)$

Свойства функции распределения:

$0 \le F(x) \le 1;$
$F(x)$ - неубывающая функция, т.е. $F(x_2) \ge F(x_1)$ , если $x_2>x_1;$
$F(-\infty)=0, \quad F(+\infty)=1;$
$F(x)$ непрерывна слева в любой точке $x$ , т.е. $F(x-0)=F(x), \quad x \in R;$
$P\{a\le X <b\}=F(b)-F(a).$

Функция распределения ДСВ имеет вид

$F(x)=\sum_{x_i<x} p_i$

где суммирование ведется по всем индексам $i$ , для которых $x_i<x.$

1.4. Задан закон распределения ДСВ Х:

$x_i$	-2	-1	0	2	3
$p_i$	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

Найти функцию распределения и построить ее график.

Решение.

По определению функции распределения находим:

если $x\le -2$ , то $F(x)=P\{X<x\}=0$ , так как значения меньше -2 ДСВ Х не принимает;

если $-2<x\le -1$ , то $F(x)=P\{X<x\}=P\{X=-2\}=0,1$

если $-1<x\le 0$ , то $F(x)=P\{X<x\}=P\{X=-2\}+P\{X=-1\}=0,1+0,2=0,3$ , так как $X$ может принять значения -2 или -1

если $0<x\le 2$ , то $F(x)=P\{X<x\}=P\{X=-2\}+P\{X=-1\}+P\{X=0\}=0,1+0,2+0,3=0,6$

если $2<x\le 3$ , то $F(x)=P\{X<x\}=P\{X=-2\}+P\{X=-1\}+P\{X=0\}+P\{X=2\}=0,1+0,2+0,3+0,3=0,9$

если $x\ge 3$ , то $F(x)=P\{X<x\}=P\{X=-2\}+P\{X=-1\}+P\{X=0\}+\\+P\{X=2\}+P\{X=3\}=0,1+0,2+0,3+0,3+0,1=1$

Таким образом, функция распределения $F(x)$ имеет вид:

$\begin{displaymath} F(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0, \qquad x\le -2 , \\ 0,1, \qquad -2< x \le -1,\\ 0,3, \qquad -1< x \le 0,\\ 0,6, \qquad 0< x \le 2,\\ 0,9, \qquad 2< x \le 3, \\ 1, \qquad x>3. \end{array} \right. \end{displaymath}$

II. Операции над дискретными случайными величинами

Суммой (соответственно, разностью или произведением) ДСВ Х, принимающей значения $x_i$ с вероятностями $p_i=P\{X=x_i\}, \quad i=1,2, ... , n$ и ДСВ Y, принимающей значения $y_j$ с вероятностями $q_j=P\{Y=y_j\}, \quad j=1,2, ... , m$ называется ДСВ, принимающая все значения вида $x_i+y_j$ (соответственно, $x_i-y_j$ или $x_i\cdot y_j$ ) с вероятностями $p_{ij}=P\{\{X=x_i\}\cdot \{Y=y_j\}\}=P\{X=x_i,\quad Y=y_j\}.$

Обозначение: $X+Y$ (соответственно, $X-Y$ или $X\cdot Y$ ).

Произведением ДСВ Х на число $c$ называется ДСВ $cX$ , принимающая значения $cx_i$ с вероятностями $p_i=P\{X=x_i\}.$

Квадратом (соответственно, m-ой степенью) ДСВ Х называется ДСВ, принимающая значения $x_i^2$ (соответственно, $x_i^m$ ) с вероятностями $p_i=P\{X=x_i\}.$ Обозначение: $X^2$ (соответственно, $X^m$ ).

Дискретные СВ Х и Y называются независимыми, если независимы события $\{X=x_i\}$ и $\{Y=y_j\}$ при любых $i=1, 2, 3, ... , n, \quad j=1, 2, ..., m.$

2.1. Задано распределение ДСВ Х

$x_i$	-2	-1	1	2	3
$p_i$	0,2	0,25	0,3	0,15	0,1

Построить ряд распределения случайных величин:

а) $Y=2X$

б) $Z=X^2$

Решение.

Возможные значения СВ Y таковы:

$y_1=2 \cdot (-2)=-4$

$y_2=2 \cdot (-1)=-2$

$y_3=2$

$y_4=4$

$y_5=6$

Вероятности значений СВ Y равны вероятностям соответствующих значений СВ Х (например, $P\{Y=-4\}=P\{X=-2\}=0,20$ и т. д.), т.е. каждое значение СВ Х мы умножаем на 2, а вероятности оставляем прежними. Таким образом

$y_i$	-4	-2	2	4	6
$p_i$	0,2	0,25	0,3	0,15	0,1

б) Значения СВ Z таковы (возведем каждое значение СВ Х в квадрат):

$z_1={(-2)}^2=4; z_2={(-1)}^2=1,$

$z_3=1^2=1; z_4=2^2=4; z_5=3^2=9$

Составим вспомогательную таблицу для распределения СВ $X^2$

$x_i^2$	4	1	1	4	9
$p_i$	0,2	0,25	0,3	0,15	0,1

При этом мы должны помнить, что при одинаковых значениях СВ Z, соответствующие им вероятности нужно сложить, т.е.

$P\{Z=1\}=P\{X^2=1\}=P\{X=-1\}+P\{X=1\}=0,25+0,3=0,55;$

$P\{Z=4\}=P\{X^2=4\}=P\{X=-2\}+P\{X=2\}=0,20+0,15=0,35.$

Поэтому ряд распределения СВ Z имеет вид

$z_i$	1	4	9
$p_i$	0,55	0,35	0,1

2.2. Дискретная случайная величина Х имеет ряд распределения:

$x_i$	$0$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{3\pi}{4}$	$\pi$	$\frac{5\pi}{4}$	$\frac{3\pi}{2}$
$p_i$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{16}$

Построить:

а) ряд распределения СВ $Y=sin(X-\frac{\pi}{4});$

б) График функции распределения СВ Y

Решение.

а) Вычисляем все значения $y_i$ СВ Y, подставляя соответствующие значения $x_i$ в формулу $Y=sin(X-\frac{\pi}{4})$ :

$y_1=sin\left(0-\frac{\pi}{4}\right)=sin(-\frac{\pi}{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

$y_2=sin(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4})=sin(0)=0$

$y_3=sin(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4})=sin(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$y_4=sin(\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{4})=sin(\frac{\pi}{2})=1$

$y_5=sin(\pi-\frac{\pi}{4})=sin(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$y_6=sin(\frac{5\pi}{4}-\frac{\pi}{4})=sin(\pi)=0$

$y_7=sin(\frac{3\pi}{2}-\frac{\pi}{4})=-cos(\frac{\pi}{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Составим вспомогательную таблицу ряда распределения:

$y_i$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$0$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$0$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$
$p_i$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{16}$

Составим ряд распределения.

При этом

$P\{Y=-\frac{\sqrt{2}}{2}\}=P\{X=0\}+P\{X=\frac{3\pi}{2}\}=\frac{1}{16}+\frac{1}{16}=\frac{1}{8}$

$P\{Y=0\}=P\{X=\frac{\pi}{4}\}+P\{X=\frac{5\pi}{4}\}=\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{4}$

$P\{Y=\frac{\sqrt{2}}{2}\}=P\{X=\frac{\pi}{2}\}+P\{X=\pi\}=\frac{3}{16}+\frac{3}{16}=\frac{3}{8}$

Т. е. записываем значения ДСВ Y в таблицу в порядке возрастания. При одинаковых значениях ДСВ соответствующие вероятности складываем.

Итак, получаем

$y_i$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$0$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$
$p_i$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{4}$

б) Самостоятельно.

2.3. Заданы распределения двух независимых случайных величин X и Y:

$x_i$	0	1	2
$p_i$	0,2	0,4	0,4

$y_i$	2	3	4
$p_i$	0,3	0,3	0,4

Найти:

а) функцию распределения СВ Х;

б) ряд распределения случайных величин $Z=X+Y, \quad W=X-Y, \quad V=X \cdot Y$ ;

в) $P(|X-Y|\le 2)$ ;

г) построить многоугольники распределения СВ Z ,W и V.

Решение.

а) Найдите функцию распределения СВ Х самостоятельно.

б) Найдем всевозможные значения $z_{ij}=x_{i}+y_{j}$ , т. е. просуммируем все значения, которые принимает ДСВ Х, со всеми значениями ДСВ Y.

Предлагаю сделать это так, первое значение ДСВ Х сложить последовательно с каждым значением ДСВ Y, потом то же самое проделать со вторым значением ДСВ Х и с третьим. Все операции показаны в таблице ниже.

0+2=2	1+2=3	2+2=4
0+3=3	1+3=4	2+3=5
0+4=4	1+4=5	2+4=6

Т. е. случайная величина $Z$ принимает значения:

$z_1=2, \quad z_2=3, \quad z_3=4, \quad z_4=5, \quad z_5=6$

Найдем вероятности этих значений:

$p_1=P\{Z=2\}=P\{X=0,Y=2\}$

Запись вида $P\{X=0,Y=2\}$ означает вероятность наступления 2-х независимых событий {X=0} и {Y=2}, т. е.

$p_1=P\{X=0,Y=2\}=P\{\{X=0\}\cdot \{Y=2\}\}=P\{X=0\}\cdot P\{Y=2\}=0,2\cdot 0,3=0,06$

Для нахождения вероятностей $p_2, \quad p_3, \quad p_4$ воспользуемся правилом сложения несовместных событий:

$p_2=P\{Z=3\}=P\{X=0,Y=3\}+P\{X=1,Y=2\}=0,2\cdot 0,3+0,4\cdot 0,3=0,06+0,12=0,18;$

$p_3=P\{Z=4\}=P\{X=0,Y=4\}+P\{X=1,Y=3\}+P\{X=2,Y=2\}=0,2\cdot 0,4+ \\ +0,4\cdot 0,3+0,4\cdot 0,3=0,08+0,12+0,12=0,32;$

$p_4=P\{Z=5\}=P\{X=1,Y=4\}+P\{X=2,Y=3\}=0,4\cdot 0,4+0,4\cdot 0,3=0,16+0,12=0,28;$

$p_5=P\{Z=6\}=P\{X=2,Y=4\}=0,4\cdot 0,4=0,16$

Запишем ряд распределения ДСВ $Z$

$z_i$	2	3	4	5	6
$p_i$	0,06	0,18	0,32	0,28	0,16

Сделаем проверку:

$\sum_{i=1}^{5} p_{i}=0,06+0,18+0,32+0,28+0,16=1.$

Многоугольник распределения СВ Z представлен ниже:

Далее рассмотрим ДСВ $W=X-Y$

Найдем всевозможные значения $w_{ij}=x_{i}-y_{j}$ .

Все вычисления сведены в таблицу ниже.

0-2=-2	1-2=-1	2-2=0
0-3=-3	1-3=-2	2-3=-1
0-4=-4	1-4=-3	2-4=-2

Таким образом случайная величина $W$ принимает значения:

$w_1=-4, \quad w_2=-3, \quad w_3=-2, \quad w_4=-1, \quad w_5=0$

Замечание. Как вы видите, я выписал для удобства все значения СДВ W в порядке возрастания, так как при составления ряда распределения их (значения случайной величины) нужно располагать по возрастанию.

Найдем вероятности этих значений:

$p_1=P\{W=-4\}=P\{X=0,Y=4\}=0,2\cdot 0,4=0,08$

$p_2=P\{W=-3\}=P\{X=0,Y=3\}+P\{X=1,Y=4\}=0,2\cdot 0,3+0,4\cdot 0,4=0,06+0,16=0,22;$

$p_3=P\{W=-2\}=P\{X=0,Y=2\}+P\{X=1,Y=3\}+P\{X=2,Y=4\}=0,2\cdot 0,3+ \\ +0,4\cdot 0,3+0,4\cdot 0,4=0,06+0,12+0,16=0,34;$

$p_4=P\{W=-1\}=P\{X=1,Y=2\}+P\{X=2,Y=3\}=0,4\cdot 0,3+0,4\cdot 0,3=0,12+0,12=0,24;$

$p_5=P\{W=0\}=P\{X=2,Y=4\}=0,4\cdot 0,3=0,12$

Запишем ряд распределения ДСВ $W$

$w_i$	-4	-3	-2	-1	0
$p_i$	0,08	0,22	0,34	0,24	0,12

Сделаем проверку: $\sum_{i=1}^{5} p_{i}=0,08+0,22+0,34+0,24+0,12=1$

Многоугольник распределения СВ W представлен ниже:

По аналогии с предыдущими пунктами найдем все значения ДСВ V : $v_{ij}=x_{i}\cdot y_{j}$ . Все вычисления сведены в таблицу ниже.

0·2=0	1·2=2	2·2=4
0·3=0	1·3=3	2·3=6
0·4=0	1·4=4	2·4=8

Таким образом случайная величина $V$ принимает значения:

$v_1=0, \quad v_2=2, \quad v_3=3, \quad v_4=4, \quad v_5=6 \quad v_6=8$

Найдем вероятности этих значений:

$p_1=P\{V=0\}=P\{X=0,Y=2\}+P\{X=0,Y=3\}+P\{X=0,Y=4\}=0,2\cdot 0,3+0,2\cdot 0,3+0,2\cdot 0,4=0,06+0,06+0,08=0,2;$

$p_2=P\{V=2\}=P\{X=1,Y=2\}=0,4\cdot 0,3=0,12$

$p_3=P\{V=3\}=P\{X=1,Y=3\}=0,4\cdot 0,3=0,12$

$p_4=P\{V=4\}=P\{X=1,Y=4\}+P\{X=2,Y=2\}=0,4\cdot 0,4+0,4\cdot 0,3=0,16+0,12=0,28;$

$p_5=P\{V=6\}=P\{X=2,Y=3\}=0,4\cdot 0,3=0,12$

$p_6=P\{V=8\}=P\{X=2,Y=4\}=0,4\cdot 0,4=0,16$

Запишем ряд распределения ДСВ $V$

$v_i$	0	2	3	4	6	8
$p_i$	0,2	0,12	0,12	0,28	0,12	0,16

Сделаем проверку: $\sum_{i=1}^{5} p_{i}=0,2+0,12+0,12+0,28+0,12+0,16=1$

Многоугольник распределения СВ V представлен ниже:

в) Найдем $P\{|X-Y| \le 2\}$ . Пусть $M=|X-Y|$ .

Построим ряд распределения ДСВ М, используя абсолютные величины значений ДСВ $W=X-Y$ , иными словами возьмем по модулю все значения ДСВ W, например, $m_1=|w_1|=|-4|=4$ .

Получим ряд

$m_i$	0	1	2	3	4
$p_i$	0,12	0,24	0,34	0,22	0,08

Найдем вероятности всех значений ДСВ М, которые меньше, либо равны 2

$P\{|X-Y| \le 2\}=P\{M \le 2\}=P\{M =0\}+P\{M=1\}+P\{M=2\}=0,12+0,24+0,34=0,7.$

Список использованной литературы:

Лунгу, К. Н. Сборник задач по высшей математике, 2 курс [Текст]/ К.Н. Лунгу, В.П. Норин, Д.Т. Письменный, Ю.А. Шевченко, Е.Д. Куланин; под редакцией С.Н. Федина.7-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 592с.
Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст]/ В.Е. Гмурман, 12-е изд., перераб. — М.: Высшее образование, Юрайт-Издат, 2009. — 479с.