Классическое определение вероятности

Составитель преподаватель кафедры высшей математики Ищанов Т.Р. Занятие №2. Классическое определение вероятности. Статистическая вероятность . Геометрические вероятности.

Теория. Наблюдаемые нами события (явления) можно подразделить на следующие три вида: достоверные, невозможные и случайные.

Событие называется достоверным, если оно обязательно наступит в результате данного опыта; достоверное событие обозначается через $\Omega$ (омега).

Событие называется невозможным, если оно заведомо не произойдет в результате данного опыта; невозможное событие обозначается через Ø (пустое множество).

Случайным событием (или просто: событием) называется такой исход опыта (испытания, эксперимента, наблюдения), который может произойти или не произойти.

Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого события в одном и том же опыте; в противном случае события называются совместными.

События называют равновозможными, если есть основание считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое. (т.е. все события имеют равные «шансы»).

Противоположным событию А называется событие $\overline A$ , которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них. Другими словами, появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие. В частности, если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий. Вероятность события численно характеризует степень возможности его появления в рассматриваемом опыте.

Вероятностью события «А» называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу:

$P(A)=\frac{m}{n},$

где m – число элементарных исходов, благоприятствующих А; n – число всех возможных элементарных исходов испытания.

Свойства:

Вероятность достоверного события равна единице: $P(\Omega)=1.$
Вероятность невозможного события равна нулю: $P(\varnothing)=0.$
Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей: $0 \leq P(A) \leq 1.$
Вероятности события «А» и противоположного ему события определяются равенством: $P(\overline A)=1- P(A).$

Практический материал.

I. Вводные задачи.

1.1. Подброшена монета. Какова вероятность того, что выпадет герб? (Ответ: 0,5)

1.2. В ящике имеется 50 одинаковых деталей, из них 5 окрашенных. Наудачу вынимают одну деталь. Найти вероятность того, что извлеченная деталь окажется окрашенной. (Ответ: 1/10)

1.3. Две игральных кости подбрасываются наудачу. Определить элементарные исходы, которые могут произойти в результате опыта, и построить множество элементарных исходов. Указать подмножества множества элементарных исходов, определяющих случайные события: А — «количества очков выпавших на верхних гранях костей – одинаково»; В — «сумма очков выпавших на верхних гранях костей равна восьми». Найти вероятности наступления этих событий.

Решение.

Определим общее количество элементарных исходов $n$ :

n= {(1;1), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6)

(2;1), (2;2), (2;3), (2;4), (2;5), (2;6)

(3;1), (3;2), (3;3), (3;4), (3;5), (3;6)

(4;1), (4;2), (4;3), (4;4), (4;5), (4;6)

(5;1), (5;2), (5;3), (5;4), (5;5), (5;6)

(6;1), (6;2), (6;3), (6;4), (6;5), (6;6)}

где цифры в скобках определяют количество очков, выпавших на верхних гранях костей (первая цифра соответствует 1-ой кости, вторая — 2-ой кости). Таким образом n=36. Также количество общих исходов можно было посчитать по правилу произведения: $n=6\cdot 6=36$ , так как на первой и второй костях по 6 возможных исходов.

Подсчитаем количество исходов соответствующих событию А:

m={(1;1), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6;6)}, т.е. m=6

Таким образом

$P(A)=\frac{m}{n}=\frac{6}{36}=\frac16$

Подсчитаем количество исходов соответствующих событию B:

u={(6;2), (2;6), (4;4), (5;3), (3;5)}, т.е. u=5

Таким образом

$P(B)=\frac{u}{n}=\frac{5}{36}$

1.4. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях – четная, причем на гранях хотя бы одной из костей появится шестерка. (Ответ: 5/36)

1.5. При перевозке ящика, в котором содержались 21 стандартная и 10 нестандартных деталей, утеряна одна деталь, причем неизвестно какая. Наудачу извлеченная (после перевозки) из ящика деталь оказалась стандартной.

Найти вероятность того, что была утеряна:

а) стандартная деталь;

б) нестандартная деталь.

Решение.

а) Извлеченная стандартная деталь, очевидно, не могла быть утеряна; могла быть потеряна любая из остальных 30 деталей (21+10-1=30), причем среди них было 20 стандартных (21-1=20). Вероятность того, что была потеряна стандартная деталь, Р=20/30=2/3.

б) Среди 30 деталей, каждая из которых могла быть утеряна, было 10 нестандартных. Вероятность того, что потеряна нестандартная деталь, Р=10/30=1/3.

1.6. Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что наудачу извлеченный кубик имеет окрашенных граней: а) одну; б) две; в) три г) не будет иметь окрашенных граней (Ответ: а) 0,384;б) 0,096 в) 0,008; г) 0,512)

1.7. Монета брошена два раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится «герб». (Ответ:¾)

II. Задачи на применение правил сложения и умножения.

2.1. Задумано двузначное число. Найти вероятность того, что задуманным числом окажется:

а) Случайно названное двузначное число;

б) Случайно названное двузначное число, цифры которого различны.

Решение.

Используем классическое определение вероятности:

$P(A)=\frac{m}{n}$

$m$ — число элементарных исходов испытания, благоприятствующих наступлению события A;

$n$ — общее число возможных элементарных исходов испытания;

а) B={Случайно названное двузначное число}

В данном случае $m=1$ , так как задумано одно конкретное число.

Согласно правилу умножения имеем: $n=9\cdot 10=90$ , так как первую цифру можно выбрать 9-ю способами (на эту позицию претендуют все цифры, кроме нуля, числа вида 02, 07, 08 ... не считаем двузначными), вторую цифру 10 способами (второй цифрой может быть любая из оставшихся, так как цифры могут повторяться).

Следовательно искомая вероятность равна:

$P(A)=\frac{1}{90}$

б) Аналогично предыдущему пункту $m=1$ .

$n=9\cdot 9=81$ первую цифру выбираем 9-ю способами, числа с нуля не начинаются, вторую цифру также 9-ю способами, так как цифры не могут повторяться. Например, если первой цифрой выбрали «5», то на второе место претендуют оставшиеся 9 цифр. Итак, $P(A)=1/81.$

2.2. В «секретном» замке на общей оси четыре диска, каждый из которых разделен на пять секторов, на которых написаны различные цифры. Замок открывается только в том случае, если диски установлены так, что цифры на них составляют определенное четырехзначное число. Найти вероятность того, что при произвольной установке дисков замок будет открыт. (Ответ: ${1}/{5^4}$ )

III. Задачи, использующие формулу размещения.

3.1. В урне содержится 5 белых и 4 черных пронумерованных шара. (Белые от 1 до 5, и черные от 1 до 4).

а) Вынимается наудачу один шар. Найти вероятность того, что он белый.

б) Вынимаются два шара. Найти вероятность того, что: 1) оба шара белые; 2) хотя бы один из них черный.

(Ответ: а) 5/9; б) 1) 5/18; 2) 13/18)

3.2. На каждой из шести одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: а, т, м, р, с, о. Карточки тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что на четырех, вынутых по одной и расположенных «в одну линию» карточках можно будет прочесть слово «трос». (Ответ: Р=1/360)

3.3. На восьми одинаковых карточках написаны числа 2, 4, 6, 7, 8, 11, 12 и 13. Наудачу выбираются две карточки. Первая карточка берётся в качестве числителя дроби, а вторая – знаменателя. Определить вероятность того, что полученная дробь будет сократимой. (Ответ: Р=5/14)

IV. Задачи, использующие формулу сочетания.

4.1. Из колоды, содержащей 36 карт, наудачу извлекаются без возвращения пять карт. Какова вероятность того, что среди извлечённых карт будут два туза? (Ответ: $(C_4^2 C_{32}^3)/(C_{36}^5 )$ )

4.2. В группе, насчитывающей 25 студентов, 5 юношей и 20 девушек. Наудачу из списка выбирается пять студентов. Какова вероятность того, что среди выбранных студентов будет ровно три девушки? (Ответ: $(C_{20}^3 C_5^2)/(C_{25}^5 )$ )

4.3. (6.3.2) В корзине 5 синих, 4 красных и 3 зеленых карандаша. Наудачу вынимают 3 карандаша. Какова вероятность того, что:

а) все они одного цвета;

б) все они разных цветов;

в) среди них 2 синих и 1 зеленый карандаш.

(Ответ: а) 3/44; б) 3/11 в) 3/22)

4.4. В урне находятся 5 белых и 6 чёрных шаров. Наудачу из урны извлекаются два шара. Определить вероятность того, что будут извлечены: а) два шара белого цвета; б) два шара чёрного цвета; в) шары разного цвета; г) шары одного цвета.

Ответ: а) $(C_5^2 C_6^0)/C_{11}^{2}$ ;

б) $(C_5^0 C_6^2)/C_{11}^{2}$ ;

в) $(C_5^1 C_6^1)/C_{11}^{2}$ ;

г) ${(C_5^2 C_6^0+C_5^0 C_6^2)}/{C_{11}^2}=1-{C_5^1 C_6^1}/{C_{11}^2}$

Замечание: Обратите внимание на то факт, что в данной задаче шары не пронумерованы (как в задаче 3.1), поэтому нам не важен порядок их следования. Следовательно применяем формулу сочетания.

4.5. Библиотека состоит из десяти различных книг, причем пять книг стоят по 4 рубля каждая, три книги – по одному рублю и две книги – по 3 рубля. Найти вероятность того, что взятые наудачу две книги стоят 5 рублей. (Ответ: $(C_5^1 C_3^1)/(C_{10}^2 )=1/3$ )

V. Задачи, использующие формулы размещения и перестановки.

5.1. Дано пять карточек с буквами Е, М, Р, Т, О. Найти вероятность того, что:

а) получится слово РОМ, если наугад одна за другой выбираются три карточки;

б) получится слово МЕТРО, если наугад одна за другой выбираются пять карточек и располагаются в ряд в порядке появления. (Ответ: а) Р=1/60; б) Р=1/120)

5.2. В мешочке имеется 5 одинаковых кубиков. На всех гранях каждого кубика написана одна из следующих букв: о, п, р, с, т. Найти вероятность того, что на вынутых по одному и расположенных « в одну линию» кубиков можно будет прочесть слово «спорт». (Ответ: Р=1/120)

VI. Используя подходящие формулы решите следующие задачи

6.1. На пяти карточках написаны цифры от 1 до 5. Опыт состоит в случайном выборе трёх карточек и раскладывании их в порядке появления в ряд слева направо. Найти вероятность того, что полученное трёхзначное число будет чётным числом. (Ответ: Р=0,4)

6.2. Набирая номер телефона, абонент понял, что он забыл последние три цифры. Помня лишь, что эти цифры различные и нечётные, он набрал их наудачу. Определить вероятность того, что абонент дозвонился туда, куда ему было необходимо. $(1/A_{5}^{3})$ ;

6.3. Студент успел выучить 17 вопросов программы из 20. Каждый экзаменационный билет состоит из двух неповторяющихся вопросов. Какова вероятность того, что студент ответит: а) на все вопросы наудачу взятого билета; б) только на один из вопросов билета; в) только на первый вопрос билета? (Ответ: $68/95, \quad 51/190, \quad 51/380.$ )

6.4. В урне имеются шары трёх цветов: два белых, три чёрных и пять красных. Наудачу извлекаются сразу три шара. Какова вероятность того, что: а) это будут шары одного цвета; б) это будут шары разных цветов; в) среди извлечённых шаров хотя бы два разного цвета? Как изменятся эти вероятности, если шары извлекаются по одному с возвращением в урну каждого шара (после фиксирования его цвета) перед следующим извлечением?

Ответ:

а) $(C_3^3 + C_5^3)/C_{10}^{3}; \quad \frac{2^3+3^3+5^3}{{10}^3};$

б) $(C_2^1 \cdot C_3^1 \cdot C_5^1 )/C_{10}^{3}; \quad \frac{3!\cdot 2\cdot 3 \cdot 5}{{10}^3};$

в) $1-\frac{C_3^3 + C_5^3}{C_{10}^3}; \quad 1-\frac{2^3+3^3+5^3}{{10}^3}.$

6.5. Среди десяти лотерейных билетов – два выигрышных. Определить вероятность того, что среди наудачу взятых пяти билетов: а) будет только один выигрышный; б) будут оба выигрышных; в) не будет ни одного выигрышного; г) будет хотя бы один выигрышный.

Ответ:

а) $\frac{C_2^1 \cdot C_8^4}{C_{10}^{5}}$ ;

б) $\frac{C_2^2 \cdot C_8^3}{C_{10}^{5}}$ ;

в) $\frac{C_2^0 \cdot C_8^5}{C_{10}^{5}}$ ;

г) $1-\frac{C_2^0 \cdot C_8^5}{C_{10}^5}=\frac{C_2^1\cdot C_8^4+C_2^2 \cdot C_8^3}{C_{10}^5}$

6.6. Из колоды, содержащей 36 карт, наудачу без возвращения извлекают шесть карт. Какова вероятность того, что среди извлечённых карт окажется не менее чем два туза?

Ответ:

$1-\frac{C_4^0 \cdot C_32^6+C_4^1 \cdot C_32^5}{C_{36}^6}=\frac{C_4^2\cdot C_{32}^4+C_4^3 \cdot C_{32}^3+C_4^4 \cdot C_32^2}{C_{36}^6}$

6.7. Из колоды, содержащей 52 карты, наудачу без возвращения извлекают шесть карт. Какова вероятность того, что среди извлечённых карт: а) окажется «король пик»; б) окажется один «король»; в) будут «короли»?

Ответ:

а) $\frac{C_1^1 \cdot C_{51}^5}{C_{52}^{6}}$ ;

б) $\frac{C_4^1 \cdot C_{48}^5}{C_{52}^{6}}$ ;

в) $1-\frac{C_{48}^6 \cdot C_4^0}{C_{52}^{6}}$ ;

6.8. Из колоды, содержащей 52 карты, наудачу последовательно по одной извлекаются три карты. Определить вероятность того, что последовательно появятся карты: «тройка», «семёрка» и «туз». Как изменится вероятность появления этих трёх карт, если нам не будет важен порядок их следования?

Ответ:

а) $\frac{4^3}{A_{52}^{3}}$ ;

б) $\frac{4^3}{C_{52}^{3}}$ ;

Перестановки

1.27. Десять книг расставляются наудачу на книжной полке. Определить вероятность того, что при этом три определённые книги окажутся поставленными рядом.

1.28. Определить вероятность того, что в тщательно перемешанной колоде (36 карт) четыре туза будут расположены рядом.