Повторение испытаний

Составитель преподаватель кафедры высшей математики Ищанов Т.Р.

Занятие №5. ПОВТОРЕНИЕ ИСПЫТАНИЙ. Формула Бернулли. Локальная теорема Лапласа. Интегральная теорема Лапласа. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.

Содержание

Формула Бернулли
Вывод формулы Бернулли
Локальная теорема Лапласа
Свойства функции Гаусса
Интегральная теорема Лапласа
Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях
Задачи

Формула Бернулли

Если производится несколько испытаний, причем вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А.
В разных независимых испытаниях событие А может иметь либо различные вероятности, либо одну и ту же вероятность. Будем далее рассматривать лишь такие независимые испытания, в которых событие А имеет одну и ту же вероятность.
Ниже воспользуемся понятием сложного события, понимая под ним совмещение нескольких отдельных событий, которые называют простыми.
Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие A может появиться либо не появиться. Условимся считать, что вероятность события A в каждом испытании одна и та же, а именно равна p. Следовательно, вероятность не наступления события A в каждом испытании также постоянна и равна $q=1-p$ .
Поставим перед собой задачу вычислить вероятность того, что при n испытаниях событие A осуществится ровно k раз и, следовательно, не осуществится n-k раз. Важно подчеркнуть, что не требуется, чтобы событие A повторилось ровно k раз в определенной последовательности. Например, если речь идет о появлении события A три раза в четырех испытаниях, то возможны следующие сложные события: $AAA\overline{A}, AA\overline{A} A, A\overline{A}AA, \overline{A}AAA$ .

Запись $AAA\overline{A}$ означает, что в первом, втором и третьем испытаниях событие А наступило, а в четвертом испытании оно не появилось, т. е. наступило противоположное событие; соответственный смысл имеют и другие записи.
Искомую вероятность обозначим $P_n(k)$ . Например, символ P₅(3) означает вероятность того, что в пяти испытаниях событие появится ровно 3 раза и, следовательно, не наступит 2 раза.
Поставленную задачу можно решить с помощью так называемой формулы Бернулли.

Вывод формулы Бернулли

Вероятность одного сложного события, состоящего в том, что в n испытаниях событие A наступит k раз и не наступит n-k раз, по теореме умножения вероятностей независимых событий равна p^kq^n-k. Таких сложных событий может быть столько, сколько можно составить сочетаний из n элементов по k элементов, т. е. $C^k_n$ . Так как эти сложные события несовместны, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий искомая вероятность равна сумме вероятностей всех возможных сложных событий. Поскольку же вероятности всех этих сложных событий одинаковы, то искомая вероятность (появления k раз события А в n испытаниях) равна вероятности одного сложного события, умноженной на их число.

Итак, формула Бернулли: Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p (0<p<1), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности) равна

$P_n(k)=C^k_np^kq^{n-k}$

или

$P_n(k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}p^kq^{n-k},$

где $q=1-p.$

Вероятность того, что в $n$ испытаниях событие наступит:

а) менее k раз — равна $P_n(0)+P_n(1)+\cdots +P_n(k-1);$

б) более k раз — равна $P_n(k+1)+P_n(k+2)+\cdots +P_n(n);$

в) не менее k раз — равна $P_n(k)+P_n(k+1)+\cdots +P_n(n);$

г) не более k раз — равна $P_n(0)+P_n(1)+\cdots +P_n(k);$

д) не менее k₁ раз и не более k₂ раз — равна

$P_n(k_1\le k\le k_2)=P_n(k_1)+P_n(k_1+1)+\cdots+P_n(k_2)=\sum_{k=k_1}^{k_2} P_n(k);$

е) хотя бы один раз — равна $P_n(k\ge 1)=1-q^n.$

Пример. Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжение одних суток не превысит установленной нормы, равна р=0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.
Решение. Вероятность нормального расхода электроэнергии в продолжение каждых из 6 суток постоянна и равна р = 0,75. Следовательно, вероятность перерасхода электроэнергии в каждые сутки также постоянна и равна $q=1-p=1-0,75=0,25.$
Искомая вероятность по формуле Бернулли равна

$P_6 (4)=C_6^4 p^4q^2=\frac{6\cdot5}{1\cdot 2}p^4q^2= {(0,75)}^4\cdot {(0,25)}^2 = 0,30.$

Локальная теорема Лапласа

Выше была выведена формула Бернулли, позволяющая вычислить вероятность того, что событие появится в n испытаниях ровно k раз. При выводе мы предполагали, что вероятность появления события в каждом испытании постоянна. Легко видеть, что пользоваться формулой Бернулли при больших значениях n достаточно трудно, так как формула требует выполнения действий над громадными числами. Например, если n = 50, k = 30, p= 0,1, то для отыскания вероятности надо вычислить выражение

$P_{50}(30)=50!/(30!20!)\cdot {(0,1)}^{30}\cdot {(0,9)}^{20},$

где $50!=30414 093\cdot {10}^{57}; 30!=26525286\cdot {10}^{25}; 20!=24329020\cdot {10}^{11}.$ Правда, можно несколько упростить вычисления, пользуясь специальными таблицами логарифмов факториалов. Однако и этот путь остается громоздким и к тому же имеет существенный недостаток: таблицы содержат приближенные значения логарифмов, поэтому в процессе вычислений накапливаются погрешности; в итоге окончательный результат может значительно отличаться от истинного.
Чтобы избежать громоздких вычислений, необходимо воспользоваться приближенными формулами. Локальная теорема Лапласа и дает асимптотическую формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления события ровно k раз в n испытаниях, если число испытаний достаточно велико.
Заметим, что для частного случая, а именно для p= ½, асимптотическая формула была найдена в 1730 г. Муавром; в 1783 г. Лаплас обобщил формулу Муавра для произвольного р, отличного от 0 и 1. Поэтому теорему, о которой здесь идет речь, иногда называют теоремой Муавра—Лапласа.

Локальная теорема Лапласа
Если вероятность p появления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность $P_n (k)$ того, что событие A появится в n испытаниях ровно k раз (безразлично в какой последовательности), приближенно равна (тем точнее, чем больше n):

$P_n(k)\approx\frac{1}{\sqrt{npq}}\cdot \varphi(x),$

где

$x=\frac{k-np}{\sqrt{npq}},\qquad \varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}$

Свойства функции Гаусса $\varphi (x):$

1. Функция φ(x) четная, т.е. $\varphi (-x)=\varphi(x).$

2. При $x\ge 4; \varphi (x)\approx 0.$

Пример 1. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.
Решение. По условию, n = 400; k = 80; р = 0,2; q = 0,8. Воспользуемся формулой Лапласа:

$P_{400}(80)\approx\frac{1}{\sqrt{400\cdot 0,2\cdot 0,8}}\cdot \varphi(x)=\frac{1}{8}\cdot \varphi(x).$

Вычислим определяемое данными задачи значение х:

$x=\frac{k-np}{\sqrt{npq}}=\frac{80-400\cdot 0,2}{8}=0.$

По таблице приложения 1 находим: $\varphi(0)=0,3989.$

Искомая вероятность: $P_{400}(80)=(1/8)\cdot 0,3898=0,04986.$

Формула Бернулли приводит примерно к такому же результату (выкладки ввиду их громоздкости опущены): $P_{400}(80)=0,0498.$

Пример 2. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле р = 0,75. Найти вероятность того, что при 10 выстрелах стрелок поразит мишень 8раз.
Решение. По условию, n=10; k=8; р=0,75; q=0,25. Воспользуемся локальной теоремой Лапласа:

$P_{10}(8)\approx\frac{1}{\sqrt{10\cdot 0,75\cdot 0,25}}\cdot \varphi(x)=0,7301\cdot \varphi(x).$

Вычислим определяемое данными задачи значение х:

$x=\frac{k-np}{\sqrt{npq}}=\frac{8-10\cdot 0,75}{\sqrt{10\cdot 0,75\cdot 0,25}}\approx 0,36.$

По таблице приложения 1 находим: $\varphi(0,36)=0,3739.$

Искомая вероятность: $P_{10} (8) = 0,7301\cdot 0,3739 = 0,273.$

Формула Бернулли приводит к иному результату, а именно $P_{10}(8) =0,282.$ Столь значительное расхождение ответов объясняется тем, что в настоящем примере n имеет малое значение (формула Лапласа дает достаточно хорошие приближения лишь при достаточно больших значениях n).

Пример 3.(122Г) Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных окажется 50 мальчиков.
Решение.
Так как n велико, воспользуемся локальной теоремой Лапласа:

$P_{50}(100)=\frac{\varphi(x)}{\sqrt{100\cdot 0,51\cdot 0,49}}$

Вычислим х:

$x=\frac{k-np}{\sqrt{npq}}=\frac{50-100\cdot 0,51}{\sqrt{100\cdot 0,51\cdot 0,49}}=\frac{-1}{\sqrt{24,99}}=-\frac{1}{4,999}=-0,2.$

Функция φ(x) четная, поэтому $\varphi(-0,2)=\varphi(0,2).$

По таблице приложения 1 найдем $\varphi(0,2)=0,3910.$

Искомая вероятность

$P_{50}(100)=\frac{0,3910}{4,999}=0,0782.$

Интегральная теорема Лапласа

Теорема. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна $p (0<p<1)$ , событие наступит не менее k₁ раз и не более k₂ раз, приближенно равна

$P(k_1;k_2)=\phi(x'')-\phi(x').$

Здесь

$\phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^1 e^{-\frac{z^2}{2}}dz$ — функция Лапласа,

$x'=\frac{k_1-np}{\sqrt{npq}},\qquad x''=\frac{k_2-np}{\sqrt{npq}}.$

Пример. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна р = 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажется непроверенных от 70 до 100 деталей.
Решение. По условию, р = 0,2; q = 0,8; n = 400; $k_1 = 70; k_2=100$ . Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

$P_{400} (70, 100)\approx \phi(x'')-\phi(x').$

Вычислим нижний и верхний пределы интегрирования:

$x'=\frac{k_1-np}{\sqrt{npq}}=\frac{70-400\cdot 0,2}{\sqrt{400\cdot 0,2\cdot 0,8}}=-1,25;$

$x''=\frac{k_2-np}{\sqrt{npq}}=\frac{100-400\cdot 0,2}{\sqrt{400\cdot 0,2\cdot 0,8}}=2,5.$

Таким образом, имеем

$P_{400}(70, 100) = \phi(2,5)-\phi(-1,25) =\phi(2,5) +\phi(1,25).$

По таблице приложения 2 находим: $\phi(2,5) =0,4938; \phi(1,25) =0,3944.$

Искомая вероятность: $P_{400}(70, 100) =0,4938+ 0,3944 = 0,8882.$

Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях

Оценка отклонения относительной частоты от постоянной вероятности.

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна $p (0<p<1)$ , абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события от вероятности появления события не превысит положительного числа ε, приближенно равна удвоенной функции Лапласа при $x=\varepsilon \sqrt{\frac{n}{pq}}$ :

$P \left(\left|\frac{m}{n}-p \right|\le \varepsilon \right) = 2\Phi \left( \varepsilon \sqrt{\frac{n}{pq}}\right)$

Задачи

1. В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент: а) включено 4 мотора; б) включены все моторы; в) выключены все моторы.
Ответ: Р6 (4) = 0,246; б) Р6 (6) = 0,26; в) Р6 (0) = 0,000064.
2.Найти вероятность того, что событие А появится в пяти независимых испытаниях не менее двух раз, если в каждом испытании вероятность появления события А равна 0,3.
Ответ: Р=1-[Р5(0) + Р5 (1)] = 0,472.
3.Событие В появится в случае, если событие А появится не менее двух раз. Найти вероятность того, что наступит событие В, если будет произведено 6 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,4.
Ответ: Р=1 —[Р6(0) + Р6 (1)] =0,767.
4.Произведено 8 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события A равна 0,1. Найти вероятность того, что событие А появится хотя бы 2 раза.
Ответ: Р=1-[Р8(0)+Р8 (1)] = 0,19.
5. Монету бросают 6 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет: а) менее двух раз; б) не менее двух раз.
Ответ: а) Р = Р6 (0) +Р6 (1) = 7/64; 6) Q = 1 — [P6(0)+P6(l)] = 57/64.
6.Вероятность попадания в цель при одном выстреле из орудия р = 0,9. Вероятность поражения цели при к попаданиях (k 1) равна 1—qk .Найти вероятность того, что цель будет поражена, если сделано два выстрела.
Указание. Воспользоваться формулами Бернулли и полной вероятности.
Ответ: 0,9639.
7.Найти приближенно вероятность того, что при 400 испытаниях событие наступит ровно 104 раза, если вероятность его появления в каждом испытании равна 0,2.
Ответ: Р400 (104) =0,0006.
8.Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень, будет поражена: а) не менее 70 и не более 80 раз; б) не более 70 раз.
Ответ: а) Р100 (70,80) = 2Ф (1,15) =0,7498;
б) Р100 (0; 70)=-Ф (1,15) + 0,5 = 0,1251.
9.Вероятность появления события в каждом из 10 000 независимых испытаний p = 0,75. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,001.
Ответ: Р = 2Ф(0,23)=0,182.
10.Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Найти, какое отклонение относительной частоты появления события от его вероятности можно ожидать с вероятностью 0,9128 при 5000 испытаниях.
Ответ: $\varepsilon$ = 0,00967.
11.Сколько раз надо бросить монету, чтобы с вероятностью 0,6 можно было ожидать, что отклонение относительной частоты появлений герба от вероятности р=0,5 окажется по абсолютной величине не более 0,01?
Ответ: n=1764.