Элементы комбинаторики

Содержание

Введение в комбинаторику
Правила комбинаторики
Формулы комбинаторики
Схема выбора без повторений
Размещения
Сочетания
Задачи на размещения
Задачи на сочетания
Перестановки
Задачи на перестановки
Схема выбора с повторениями
Размещения с повторениями
Сочетания с повторениями
Задачи на размещения с повторениями
Задачи на сочетания с повторениями
Перестановки с повторениями
Задачи на перестановки с повторениями
Задания для самостоятельной работы

Введение в комбинаторику

В современном мире понимание комбинаторики играет важную роль во многих областях науки и техники, начиная от информатики и заканчивая криптографией. Независимо от специализации, знание комбинаторики является ключевым элементом для решения различных задач, связанных с подсчетом, организацией и анализом различных комбинаторных структур.

Комбинаторика — это раздел математики, который изучает конечные структуры и объекты, такие как множества, перестановки, комбинации и разбиения, а также различные методы их анализа и перечисления. Она занимается изучением способов организации или выбора элементов из конечных множеств с учетом определенных правил или ограничений. Важными концепциями в комбинаторике являются сочетания, размещения, перестановки, биномиальные коэффициенты, иерархические структуры и вероятностные модели. Комбинаторика имеет широкое применение в различных областях, таких как информатика, криптография, теория игр, статистика, а также в решении практических задач, связанных с организацией объектов и событий.

Правила комбинаторики

Правило умножения: если из некоторого конечного множества первый объект (элемент « $a$ ») можно выбрать $n_{1}$ способами, а второй объект (элемент « $b$ ») — $n_{2}$ способами, то оба объекта ( $a$ и $b$ ) в указанном порядке можно выбрать $n_{1} \cdot n_{2}$ способами.

Правило сложения: если некоторый объект $a$ можно выбрать $n_{1}$ способами, а объект $b$ можно выбрать $n_{2}$ способами, причем первые и вторые способы не пересекаются, то любой из объектов ( $a$ или $b$ ) можно выбрать $n_{1} + n_{2}$ способами.

3.1.1. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 0; 1; 2; 3; 4 если:

а) цифры не могут повторяться;

б) цифры могут повториться;

в) числа должны быть четными (цифры могут повторяться);

г) число должно делиться на 5 (цифры не могут повторяться).

Решение.

Трехзначное число состоит из трех разрядов. Для простоты восприятия будем их обозначать позициями цифр в числе.

а) На первое место «претендуют» четыре цифры: 1, 2, 3, 4, т. е. все кроме нуля, так как числа с нуля не начинаются и, например, числа 023, 034, 031 не будут считаться трехзначными.

Допустим на первую позицию мы выбрали цифру 3 (выделена красным цветом на схеме), тогда на второе место «претендуют» снова четыре цифры — это 1, 2, 4 и 0. Цифру 3 мы выбрать не можем, так как мы ее уже использовали на первой позиции, а по условию цифры в числе у нас повторяться не могут. Цифру 0 на втором месте в числе мы уже можем использовать, давайте ее и выберем. На третью позицию выбираем любую из оставшихся трех цифр: 1, 2 или 4.

Таким образом, на первую позицию мы можем выбрать любую из четырех цифр, на вторую — снова четыре цифры и на третью позицию — три цифры. Согласно правилу произведения, перемножив все способы выбора цифр в указанном порядке, получим 48 вариантов составления трехзначных чисел, цифры в которых не повторяются.

б) Если цифры при формировании трехзначного числа могут повторяться, то первую цифру мы можем выбрать четырьмя способами (все кроме нуля), на вторую и третью позиции можем выбрать любую из пяти цифр, так как цифры в числе могут повторяться. Например, выбрав на все позиции цифру три получим число 333.

Таким образом, согласно правилу произведения, перемножив все способы выбора цифр в указанном порядке, получим 100 вариантов составления трехзначных чисел, цифры в которых могут повторяться.

в) числа должны быть четными (цифры могут повторяться);

Число (т. е. целое число), выраженное в десятичной системе счисления, является четным или нечетным в зависимости от того, четна или нечетна его последняя цифра.

В нашем примере, чтобы число было четным, последняя цифра должна быть четной: 0, 2, 4. Остальные цифры могут быть любыми.

Выбор последней (четной) цифры: у нас есть 3 варианта выбора: 0, 2, 4.
Выбор первой цифры: после выбора цифры на последнюю позицию у нас есть 4 варианта выбрать первую цифру (так как цифры в числе могут повторяться), все, кроме нуля.
Выбор второй цифры: для каждой комбинации из двух выбранных цифр, у нас также есть 5 вариантов выбора цифры на вторую позицию, так как цифры в числе могут повторяться.

Итак, общее количество трехзначных четных чисел с повторениями цифр будет равно произведению числа вариантов выбора для каждой цифры.

г) число должно делиться на 5 (цифры не могут повторяться).

Для того, чтобы число делилось на 5, последняя цифра должна быть 0 или 5.

Выбор последней цифры: на данную позицию согласно условию задачи мы можем выбрать только ноль.
Выбор первой цифры: после выбора последней цифры ноль, у нас остается четыре цифры (1, 2, 3 и 4) для выбора первой цифры, выберем, например, 2.
Выбор второй цифры: после выбора цифр на третью и первую позиции, у нас остается три цифры (1, 3 и 4), из которых мы можем выбрать цифру на вторую позицию в числе.

Итак, общее количество трехзначных чисел, делящихся на 5 без повторения цифр, будет равно произведению числа вариантов выбора для каждой цифры.

На конкретном примере видно, что на последнюю позицию был выбран ноль, на первую — цифра два, на вторую позицию можно выбрать любую из трех оставшихся: 1, 3 или 4.

Ответ: а) 48; б) 100; в) 60; г) 12.

3.1.2. Сколько чисел, содержащих не менее трех различных цифр, можно составить из цифр 3; 4; 5; 6; 7?

Решение.

Числа, которые содержат не менее трех различных цифр — это трехзначные, четырехзначные и пятизначные. Для составления чисел, содержащих более пяти разрядов, нам придется повторно брать уже использованные цифры, что противоречит условию задачи.

Посчитаем количество трехзначных чисел из цифр 3; 4; 5; 6; 7, не допуская повторений.

Выбор первой цифры: у нас есть 5 вариантов выбрать первую цифру.
Выбор второй цифры: после выбора первой цифры, у нас остается 4 цифры, из которых мы можем выбрать вторую.
Выбор третьей цифры: после выбора первых двух цифр, у нас остается 3 цифры, из которых мы можем выбрать третью.

Итак, общее количество трехзначных чисел без повторений будет равно произведению числа вариантов выбора для каждой цифры.

Посчитаем количество четырехзначных чисел из цифр 3; 4; 5; 6; 7, не допуская повторений.

Выбор первой цифры: у нас есть 5 вариантов выбрать первую цифру.
Выбор второй цифры: для каждой выбранной первой цифры, у нас есть 4 варианта выбора второй цифры.
Выбор третьей цифры: для каждой комбинации из первых двух цифр, у нас есть 3 варианта выбора третьей цифры.
Выбор четвертой цифры: для каждой комбинации из первых трех цифр, у нас есть 2 варианта выбора четвертой цифры.

Итак, общее количество четырехзначных чисел без повторений будет равно произведению числа вариантов выбора для каждой цифры.

В данном примере, на первую позицию можем выбрать любую из пяти цифр: 3, 4, 5, 6, 7, мы выберем 6; второй можем выбрать только четыре цифры: 3, 4, 5, 7 (так как 6 уже выбрана, а цифры в числе повторяться не могут), выберем 3; на третью — три цифры: 4, 5 или 7 (так как 3 и 6 уже выбраны, а цифры в числе повторяться не могут), мы выбрали 7; на четвертую — две цифры: 4 или 5.

Посчитаем количество пятизначных чисел из цифр 3; 4; 5; 6; 7, не допуская повторений.

Выбор первой цифры: у нас есть 5 вариантов выбрать первую цифру.
Выбор второй цифры: для каждой выбранной первой цифры, у нас есть 4 варианта выбора второй цифры.
Выбор третьей цифры: для каждой комбинации из первых двух цифр, у нас есть 3 варианта выбора третьей цифры.
Выбор четвертой цифры: для каждой комбинации из первых трех цифр, у нас есть 2 варианта выбора четвертой цифры.
Выбор пятой цифры: для каждой комбинации из первых четырех цифр, у нас есть 1 вариант выбора пятой цифры.

Итак, общее количество пятизначных чисел без повторений будет равно произведению числа вариантов выбора для каждой цифры.

В данном примере, на первую позицию можем выбрать любую из пяти цифр: 3, 4, 5, 6, 7, мы выберем 6; второй можем выбрать только четыре цифры: 3, 4, 5, 7 (так как 6 уже выбрана, а цифры в числе повторяться не могут), выберем 3; на третью — три цифры: 4, 5 или 7 (так как 6 и 3 уже выбраны, а цифры в числе повторяться не могут), мы выбрали 7; на четвертую — две цифры: 4 или 5 (так как 6, 3 и 7 уже выбраны, а цифры в числе повторяться не могут), выберем 4; на пятую позицию можем выбрать одну оставшуюся цифру — 5.

Таким образом, согласно правилу сложения общее количество трехзначных, четырехзначных, пятизначных чисел будет равно сумме: 60 + 120 + 120 = 300.

Ответ: 300.

3.1.3. Сколько можно составить четырехзначных чисел так, чтобы любые две соседние цифры были различными? (Ответ: 6561).

Факториал натурального числа $n$ , обозначаемый символом $n!$ , определяется как произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ , включительно:

$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (n - 2) \cdot (n - 1) \cdot n.$

Свойства

$n! = (n - 1)! \cdot n;$

$(n + 1)! = n! \cdot (n + 1);$

$0! = 1;$

$1! = 1.$

Примеры:

1) $0! = 1$

2) $1! = 1$

3) $2! = 2 \cdot 1 = 2$

4) $3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$

5) $4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$

6) $5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$

7) $6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720$

$7! = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 5040$

9) $8! = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 40320$

10) $9! = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 362880$

И так далее.

Формулы комбинаторики

Схема выбора без повторений

Схема выбора без повторений — это подход к выбору элементов из некоторого множества, при котором каждый элемент выбирается только один раз.

Размещения

Пусть дано множество, состоящее из $n$ различных элементов. Размещением из $n$ элементов по $k$ элементов ( $0 \leq k \leq n$ ) называется любое упорядоченное подмножество данного множества, содержащее $k$ элементов. Два размещения различны, если они отличаются друг от друга либо составом элементов, либо порядком их следования. Число размещений из $n$ элементов по $k$ обозначается символом $A_{n}^{k}$ и вычисляется по формуле:

$A_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)!}$

где

$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$ , причем $1! = 1$ , $0! = 1$ .

Сочетания

Сочетанием из $n$ элементов по $k$ элементов ( $0 \leq k \leq n$ ) называется любое подмножество данного множества, которое содержит $k$ элементов.

Любые два сочетания отличаются друг от друга только составом элементов. Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ обозначается символом $C_{n}^{k}$ и вычисляется по формуле:

$C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!}$

3.2.1. Составить различные размещения и сочетания (без повторений) по два элемента из элементов множества $Q = \{3,4,5\}$ , подсчитать их число.

Решение.

Составляем размещения: (3, 4); (4, 3); (3, 5); (5, 3); (4, 5); (5, 4).

$A_{3}^{2} = \frac{3!}{(3 - 2)!} = \frac{3!}{1!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{1} = 6.$

Составляем сочетания: (3, 4); (3, 5); (4, 5).

$C_{3}^{2} = \frac{3!}{2!(3 - 2)!} = \frac{3!}{2!1!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{1 \cdot 2} = 3.$

Ответ: $A_{3}^{2} = 6$ ; $C_{3}^{2} = 3$ .

Задачи на размещения

3.2.2. Сколькими способами можно распределить три медали (золотую, серебряную, бронзовую) между 9 спортсменами?

Решение.

Для решения данной задачи нам сначала необходимо определиться, важен ли порядок при распределении медалей между спортсменами.

Золотая, серебряная и бронзовая медали имеют разные статусы и определяют места спортсменов в соревновании. Таким образом, для каждой медали определен свой носитель, что подразумевает определенный порядок.

Согласно условию задачи, нам необходимо сформировать упорядоченные тройки призеров и посчитать их количество. Порядок внутри образованных трехэлементных множеств (троек) важен, так как если наградить тех же спортсменов «тройки» в другом порядке, то смысл изменится. Если бы мы переставили спортсменов внутри троек, то это привело бы к изменению того, кто получит какую медаль.

Таким образом, порядок вручения медалей имеет значение, так как он определяет места спортсменов в соревновании. Например, если спортсмен получил золотую медаль, это значит, что он стал чемпионом, а если он получил серебряную или бронзовую медаль, это значит, что он занял второе или третье место соответственно.

Поэтому в данной задаче мы учитываем не просто количество спортсменов, но и их места в соревновании, что делает порядок важным. Следовательно, для подсчета вариантов распределения трех медалей между девятью спортсменами воспользуемся формулой размещения:

$A_{9}^{3} = \frac{9!}{(9 - 3)!} = \frac{9!}{6!} = \frac{6! \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9}{6!} = 504.$

3.2.3. Сколько имеется пятизначных чисел, все цифры у которых различны? Указание: учесть тот факт, что цифры вида 02345, 09782 и т. д. не считаем пятизначными. (Ответ: 27 216).

3.2.4. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг (три горизонтальных полосы), если имеется материя 5 различных цветов? (Ответ: 60).

3.2.5. Сколько уникальных трехбуквенных «слов» (под «словом» понимается любая комбинация букв) можно составить из букв: А, Б, В, Г, Д, Е? (Ответ: 120).

3.2.6. В аэрокосмической лаборатории 7 инженеров и 5 астрономов. Для исследовательского проекта нужно выбрать 4 специалиста для выполнения следующих задач: проектирование спутника, анализ космических данных, разработка экспериментального оборудования и наблюдение за звёздами. Сколько существует способов распределения задач, если:

а) все задачи выполняют инженеры;

б) три задачи выполняют инженеры и одна выполняется астрономом;

в) одна задача выполняется инженером и три астрономами;

г) все задачи выполняют астрономы;

д) все задачи выполняются специалистами одной специализации.

3.2.7. На фестивале иллюзионистов 6 магов и 4 фокусника. Нужно выбрать 4 артиста для различных видов выступлений: карточные трюки, сценическая магия, уличное представление и ментализм. Сколько существует способов распределения выступлений, если:

а) все выступления проводят маги;

б) три выступления проводят маги и одно — фокусником;

в) одно выступление проводит маг и три — фокусниками;

г) все выступления проводят фокусники;

д) все выступления проводятся исполнителями одной категории.

3.2.8. В музее 8 кураторов и 6 искусствоведов. Для специальной выставки нужно выбрать 4 эксперта для кураторства различных разделов: живопись, скульптура, графика и декоративное искусство. Сколько существует способов распределения разделов, если:

а) все разделы курируют кураторы;

б) три раздела курируют кураторы и один — искусствоведом;

в) один раздел курирует куратор и три — искусствоведами;

г) все разделы курируют искусствоведы;

д) все разделы курируются специалистами одной специализации.

3.2.9. На спортивном турнире 10 тренеров по боксу и 7 по дзюдо. Нужно выбрать 4 тренера для обучения различным техникам: ударная техника, защита, броски и клинч. Сколько существует способов распределения техник, если:

а) всем техникам обучают тренеры по боксу;

б) трем техникам обучают тренеры по боксу и одной — по дзюдо;

в) одной технике обучает тренер по боксу и трем — по дзюдо;

г) всем техникам обучают тренеры по дзюдо;

д) всем техникам обучают тренеры одной дисциплины.

Задачи на сочетания

3.2.10. В учебной группе 30 студентов. Сколькими способами можно сформировать футбольную команду из 11 человек. (Ответ: 54627300).

3.2.11. В армейской части имеется 19 солдат. Сколькими способами можно сформировать наряд из 7 человек? (Ответ: 50388).

3.2.12. В магазине 16 видов цветов. Сколькими способами можно составить букет из 9 различных видов цветов. (Ответ: 11440).

3.2.13. В коробке 13 карандашей. Сколькими способами можно составить набор из 3 карандашей. (Ответ: 286).

3.2.14. Учебная группа студентов из 9 юношей и 13 девушек выбирает по жребию 7 человек для дежурства по университету. Сколько существует способов, при которых в эту «семерку» попадут:

а) одни девушки;

б) 4 юноши и 3 девушки;

в) более 5 юношей;

г) не более 3 девушек;

д) менее 3 юношей;

е) не менее 4 девушек;

ж) студенты одного пола.

Решение.

В данной задаче порядок выбора студентов не играет роли, так как отсутствуют дополнительные условия или контекст, где порядок имеет значение. Например, если бы нам нужно было распределить медали (золотую, серебряную, бронзовую) между участниками группы, тогда порядок выбора стал бы важным, так как это бы влияло на то, кто получит какую медаль.

Нам нужно выбрать группу из 7 человек, и их пол или какой-либо другой атрибут не играет роли в этом контексте. Главное — это количество выбранных людей, а не их индивидуальные характеристики или порядок, в котором они были выбраны.

Таким образом, при решении данной задачи мы будем использовать формулу сочетания.

а) Для этого случая мы должны выбрать 7 девушек из 13 доступных.

$C_{13}^{7} = \frac{13!}{7!(13 - 7)!} = \frac{13!}{7! \cdot 6!} = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{7! \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} =$

$=\frac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{1235520}{720} = 1716.$

Таким образом, существует 1716 способов, при которых в «семерку» попадут одни девушки.

б) Необходимо выбрать 4 юноши из 9 доступных и 3 девушки из 13 доступных.

$C_{9}^{4} = \frac{9!}{4!(9 - 4)!} = \frac{9!}{4! \cdot 5!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 5!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 126;$

$C_{13}^{3} = \frac{13!}{3!(13 - 3)!} = \frac{13!}{3! \cdot 10!} = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 286.$

Теперь согласно правилу произведения перемножим эти значения:

$C_{9}^{4} \cdot C_{13}^{3} = 126 \cdot 286 = 36036.$

Таким образом, существует 36036 способов, при которых в «семерку» попадут 4 юноши и 3 девушки.

в) Более 5 юношей. Здесь мы можем рассмотреть два случая: когда в «семерку» попадают 6 юношей или все 7 юношей.

В «семерку» попадают 6 юношей. Для этого случая мы должны выбрать 6 юношей из 9 доступных и 1 девушку из 13 доступных. Используем сочетание:

$C_{9}^{6} = \frac{9!}{6!(9 - 6)!} = \frac{9!}{6! \cdot 3!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84;$

$C_{13}^{1} = \frac{13!}{1!(13 - 1)!} = \frac{13!}{1! \cdot 12!} = \frac{13}{1} = 13.$

Теперь согласно правилу умножения перемножим эти значения:

$C_{9}^{6} \cdot C_{13}^{1} = 84 \cdot 13 = 1092.$

В «семерку» попадают все 7 юношей. Для этого случая мы должны выбрать 7 юношей из 9 доступных. Используем сочетание:

$C_{9}^{7} = \frac{9!}{7!(9 - 7)!} = \frac{9!}{7! \cdot 2!} = \frac{9 \cdot 8}{2 \cdot 1} = 36.$

Согласно правилу сложения суммируем оба случая:

$C_{9}^{6} \cdot C_{13}^{1} + C_{9}^{7} = 1092 + 36 = 1128.$

Таким образом, существует 1128 способов, при которых в «семерку» попадут более 5 юношей.

г) Не более 3 девушек. Здесь мы рассмотрим несколько случаев: когда в «семерку» попадают 3, 2, 1 или 0 девушек.

В «семерку» попадают 3 девушки. Для этого случая мы должны выбрать 3 девушки из 13 доступных и 4 юношей из 9 доступных. Используем сочетание:

$C_{13}^{3} = \frac{13!}{3!(13 - 3)!} = \frac{13!}{3! \cdot 10!} = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 286;$

$C_{9}^{4} = \frac{9!}{4!(9 - 4)!} = \frac{9!}{4! \cdot 5!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 126.$

Теперь перемножим эти значения:

$C_{13}^{3} \cdot C_{9}^{4} = 286 \cdot 126 = 36036.$

В «семерку» попадают 2 девушки. Для этого случая мы должны выбрать 2 девушки из 13 доступных и 5 юношей из 9 доступных. Используем сочетание:

$C_{13}^{2} = \frac{13!}{2!(13 - 2)!} = \frac{13!}{2! \cdot 11!} = \frac{13 \cdot 12}{2 \cdot 1} = 78;$

$C_{9}^{5} = \frac{9!}{5!(9 - 5)!} = \frac{9!}{5! \cdot 4!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 126.$

Теперь перемножим эти значения:

$C_{13}^{2} \cdot C_{9}^{5} = 78 \cdot 126 = 9828.$

В «семерку» попадает 1 девушка. Для этого случая мы должны выбрать 1 девушку из 13 доступных и 6 юношей из 9 доступных. Используем сочетание:

$C_{13}^{1} = \frac{13!}{1!(13 - 1)!} = \frac{13!}{1! \cdot 12!} = \frac{13}{1} = 13;$

$C_{9}^{6} = \frac{9!}{6!(9 - 6)!} = \frac{9!}{6! \cdot 3!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84.$

Теперь перемножим эти значения:

$C_{13}^{1} \cdot C_{9}^{6} = 13 \cdot 84 = 1092.$

В «семерку» не попадает ни одна девушка. Для этого случая мы должны выбрать 0 девушек из 13 доступных и 7 юношей из 9 доступных. Используем сочетание:

$C_{13}^{0} = \frac{13!}{0!(13 - 0)!} = \frac{13!}{0! \cdot 13!} = \frac{13!}{1 \cdot 13!} = 1;$

$C_{9}^{7} = \frac{9!}{7!(9 - 7)!} = \frac{9!}{7! \cdot 2!} = \frac{9 \cdot 8}{2 \cdot 1} = 36.$

Теперь перемножим эти значения:

$C_{13}^{0} \cdot C_{9}^{7} = 1 \cdot 36 = 36.$

Таким образом, суммируем все три случая:

$C_{13}^{3} \cdot C_{9}^{4} + C_{13}^{2} \cdot C_{9}^{5} + C_{13}^{1} \cdot C_{9}^{6} + C_{13}^{0} \cdot C_{9}^{7} = 36036 + 9828 + 1092 + 36 = 46992.$

Таким образом, существует 46992 способа, при которых в «семерку» попадут не более 3 девушек.

д) Менее 3 юношей. Здесь мы рассмотрим три случая: когда в «семерку» попадают 0, 1 или 2 юноши.

В «семерку» не попадает ни один юноша. Для этого случая мы должны выбрать 7 девушек из 13 доступных. Используем сочетание:

$C_{13}^{7} = \frac{13!}{7!(13 - 7)!} = \frac{13!}{7! \cdot 6!} = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{7! \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 1716.$

В «семерку» попадает 1 юноша. Для этого случая мы должны выбрать 1 юношу из 9 доступных и 6 девушек из 13 доступных. Используем сочетание:

$C_{9}^{1} = \frac{9!}{1!(9 - 1)!} = \frac{9!}{1! \cdot 8!} = \frac{9}{1} = 9;$

$C_{13}^{6} = \frac{13!}{6!(13 - 6)!} = \frac{13!}{6! \cdot 7!} = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 1716.$

Теперь перемножим эти значения:

$C_{9}^{1} \cdot C_{13}^{6} = 9 \cdot 1716 = 15444.$

В «семерку» попадает 2 юноши. Для этого случая мы должны выбрать 2 юношей из 9 доступных и 5 девушек из 13 доступных. Используем сочетание:

$C_{9}^{2} = \frac{9!}{2!(9 - 2)!} = \frac{9!}{2! \cdot 7!} = \frac{9 \cdot 8}{2 \cdot 1} = 36;$

$C_{13}^{5} = \frac{13!}{5!(13 - 5)!} = \frac{13!}{5! \cdot 8!} = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 1287.$

Теперь перемножим эти значения:

$C_{9}^{2} \cdot C_{13}^{5} = 36 \cdot 1287 = 46332.$

Суммируем все три случая:

$C_{13}^{7} + C_{9}^{1} \cdot C_{13}^{6} + C_{9}^{2} \cdot C_{13}^{5} = 1716 + 15444 + 46332 = 63516.$

Таким образом, существует 63516 способов, при которых в «семерку» попадут менее 3 юношей.

е) Не менее 4 девушек. Здесь мы рассмотрим несколько случаев: когда в «семерку» попадают 4, 5, 6 или 7 девушек.

В «семерку» попадают 4 девушки. Для этого случая мы должны выбрать 4 девушки из 13 доступных и 3 юношей из 9 доступных. Используем сочетание:

$C_{13}^{4} = \frac{13!}{4!(13 - 4)!} = \frac{13!}{4! \cdot 9!} = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 715;$

$C_{9}^{3} = \frac{9!}{3!(9 - 3)!} = \frac{9!}{3! \cdot 6!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84.$

Теперь перемножим эти значения:

$C_{13}^{4} \cdot C_{9}^{3} = 715 \cdot 84 = 60060.$

В «семерку» попадают 5 девушек. Для этого случая мы должны выбрать 5 девушек из 13 доступных и 2 юношей из 9 доступных. Используем сочетание:

$C_{13}^{5} = \frac{13!}{5!(13 - 5)!} = \frac{13!}{5! \cdot 8!} = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 1287;$

$C_{9}^{2} = \frac{9!}{2!(9 - 2)!} = \frac{9!}{2! \cdot 7!} = \frac{9 \cdot 8}{2 \cdot 1} = 36.$

Теперь перемножим эти значения:

$C_{13}^{5} \cdot C_{9}^{2} = 1287 \cdot 36 = 46332.$

В «семерку» попадают 6 девушек. Для этого случая мы должны выбрать 6 девушек из 13 доступных и 1 юношу из 9 доступных. Используем сочетание:

$C_{13}^{6} = \frac{13!}{6!(13 - 6)!} = \frac{13!}{6! \cdot 7!} = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 1716;$

$C_{9}^{1} = \frac{9!}{1!(9 - 1)!} = \frac{9!}{1! \cdot 8!} = \frac{9}{1} = 9.$

Теперь перемножим эти значения:

$C_{13}^{6} \cdot C_{9}^{1} = 1716 \cdot 9 = 15444.$

В «семерку» попадают все 7 девушек. Для этого случая мы должны выбрать 7 девушек из 13 доступных. Используем сочетание:

$C_{13}^{7} = \frac{13!}{7!(13 - 7)!} = \frac{13!}{7! \cdot 6!} = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{7! \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 1716.$

Таким образом, суммируем все четыре случая:

$C_{13}^{4} \cdot C_{9}^{3} + C_{13}^{5} \cdot C_{9}^{2} + C_{13}^{6} \cdot C_{9}^{1} + C_{13}^{7} =$

$= 60060 + 46332 + 15444 + 1716 = 113552.$

Таким образом, существует 113552 способа, при которых в «семерку» попадут не менее 4 девушек.

ж) Студенты одного пола. Здесь мы также рассмотрим два случая: когда в «семерку» попадают только юноши или только девушки.

В «семерку» попадают только юноши. Для этого случая мы должны выбрать 7 юношей из 9 доступных. Используем сочетание:

$C_{9}^{7} = \frac{9!}{7!(9 - 7)!} = \frac{9!}{7! \cdot 2!} = \frac{9 \cdot 8}{2 \cdot 1} = 36.$

В «семерку» попадают только девушки. Для этого случая мы должны выбрать 7 девушек из 13 доступных. Используем сочетание:

$C_{13}^{7} = \frac{13!}{7!(13 - 7)!} = \frac{13!}{7! \cdot 6!} = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{7! \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 1716.$

Суммируем оба случая:

$C_{9}^{7} + C_{13}^{7} = 36 + 1716 = 1752.$

Таким образом, существует 1752 способа, при которых в «семерку» попадают студенты одного пола.

3.2.15. В библиотеке 8 книг по математике и 5 книг по физике. Необходимо выбрать 4 книги для чтения. Сколько существует способов, при которых в выборку попадут:

а) только книги по математике;

б) две книги по математике и две по физике;

в) три книги по физике и одна по математике;

г) хотя бы одна книга по физике.

3.2.16. На семинар приглашены 7 мужчин и 6 женщин. Нужно сформировать группу из 5 человек для обсуждения проекта. Сколько существует способов, при которых в группу войдут:

а) только мужчины;

б) 3 мужчины и 2 женщины;

в) 1 женщина и 4 мужчины;

г) хотя бы одна женщина.

3.2.17. В кондитерской есть 10 различных видов пирожных и 6 видов тортов. Нужно выбрать 6 десертов для вечеринки. Сколько существует способов, при которых в выборку попадут:

а) только пирожные;

б) 4 пирожных и 2 торта;

в) 3 торта и 3 пирожных;

г) хотя бы один торт.

Перестановки

Перестановкой из $n$ элементов называется размещение из $n$ элементов по $n$ элементов. Таким образом, указать ту или иную перестановку данного множества из $n$ элементов значит выбрать определенный порядок этих элементов. Поэтому любые две перестановки отличаются друг от друга только порядком следования элементов.

Число перестановок из $n$ элементов обозначается символом $P_{n}$ и вычисляется по формуле:

$P_{n} = A_{n}^{n} = n!$

Задачи на перестановки

3.2.18. Составить различные перестановки из элементов множества $Q = \{3,4,5\}$ .

Составляем перестановки:

$(3, 4, 5); (3, 5, 4);$

$(4, 3, 5); (4, 5, 3);$

$(5, 3, 4); (5, 4, 3).$

Расчет по формуле: $P_{3} = 3! = 6$ .

Ответ: 6.

3.2.19. Сколькими способами можно расставить на книжной полке десятитомник по математическому анализу, располагая учебники:

а) в произвольном порядке;

б) так, чтобы 1, 5, 9 тома стояли рядом (в любом порядке);

в) так, чтобы 1, 2, 3 тома не стояли рядом (в любом порядке).

Ответ: а) $10!$ б) $8! \cdot 3!$ в) $P_{10} - P_{8} \cdot P_{3}.$

Решение.

а) Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для перестановок без повторений.

Формула для перестановок без повторений $P_{n}$ определяется как факториал числа $n$ , где $n$ — количество объектов, которые нужно переставить.

В данной задаче у нас есть 10 учебников по математическому анализу, которые нужно расставить на книжной полке. Поэтому $n = 10$ (количество учебников).

Применяя формулу для перестановок без повторений, мы получаем:

$P_{10} = 10!$

Рассчитаем это значение:

$10! = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 3628800.$

Таким образом, у нас есть 3628800 способов расставить десять учебников по математическому анализу на книжной полке в произвольном порядке.

б) Учебники 1, 5, и 9 должны стоять рядом (в любом порядке). Для решения этой части задачи давайте сначала рассмотрим, что у нас есть три учебника, которые мы можем считать как один элемент: группа, в которой 1, 5 и 9 тома стоят рядом. Представим, что мы поместили три учебника в коробку и поставили на полку с остальными учебниками. Теперь у нас есть 8 объектов (7 учебников, которые не являются частью группы, и одна группа из 3 учебников), которые нужно переставить. Поэтому $n = 8$ (количество объектов).

Применяя формулу для перестановок без повторений, мы получаем:

$P_{8} = 8! = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 40320.$

На каждую из этих $8!$ перестановок существует еще $3!$ перестановок трех учебников внутри коробки, следовательно, число способов расставить учебники на книжной полке, при условии, что 1, 5 и 9 тома будут стоять рядом равно:

$8! \cdot 3! = 40320 \cdot 6 = 241920.$

Таким образом, у нас есть 241920 способов расставить учебники на книжной полке так, чтобы 1, 5 и 9 тома стояли рядом.

в) Учебники 1, 2, и 3 не должны стоять рядом (в любом порядке).

Для решения этой части задачи сначала посчитаем, сколько всего способов расставить учебники без каких-либо ограничений. Мы уже вычислили это в предыдущей части задачи: $10! = 3628800$ .

Теперь рассмотрим количество способов, когда учебники 1, 2 и 3 стоят рядом. Это будет аналогично пункту (б), где у нас есть группа из трех учебников, которые можно рассматривать как один элемент, и 7 оставшихся учебников. Таким образом, это также $8! \cdot 3! = 241920$ способов.

Чтобы найти количество способов, когда учебники 1, 2 и 3 не стоят рядом, мы вычитаем количество способов, когда они стоят рядом, из общего числа способов:

$P_{10} - P_{8} \cdot P_{3} = 3628800 - 241920 = 3386880.$

Таким образом, у нас есть 3386880 способов расставить учебники на книжной полке так, чтобы учебники 1, 2 и 3 не стояли рядом.

3.2.20. В комнате имеется 7 стульев. Сколькими способами можно разместить на них 7 гостей? Порядок рассадки гостей важен. (Ответ:5040).

3.2.21. На тренировке футбольной команды, состоящей из 6 игроков, каждый игрок имеет уникальный номер от 1 до 6. Тренер хочет распределить игроков по различным позициям на поле, где каждая позиция обозначается номером от 1 до 6. Сколькими способами тренер может выполнить это распределение? (Ответ: 720).

3.2.22. В команде по киберспорту есть 5 игроков: Джон, Кэтрин, Анфиса, Руслан и Аслан. Они соревнуются в чемпионате и должны выбрать порядок, в котором они будут выходить на игру. Сколькими способами они могут выбрать порядок выхода? (Ответ: 120).

Схема выбора с повторениями

Схема выбора с повторениями — это методика выбора элементов из множества, при которой каждый элемент может быть выбран неограниченное количество раз.

Размещения с повторениями

Если при упорядоченной выборке $k$ элементов из $n$ элементы возвращаются обратно (таким образом, одни и те же элементы могут выниматься по нескольку раз, т. е. повторяться), то полученные выборки представляют собой размещения с повторениями.

Число всех размещений с повторениями из $n$ элементов по $k$ обозначается символом $\overline{A}_{n}^{k}$ и вычисляется по формуле:

$\overline{A}_{n}^{k} = n^{k}$

Сочетания с повторениями

Если при выборке $k$ элементов из $n$ элементов, элементы возвращаются обратно без последующего упорядочивания (таким образом, одни и те же элементы могут выниматься по нескольку раз, т. е. повторяться), то полученные выборки есть сочетания с повторениями.

Число всех сочетаний с повторениями из $n$ элементов по $k$ обозначается символом $\overline{C}_{n}^{k}$ и вычисляется по формуле:

$\overline{C}_{n}^{k} = C_{n + k - 1}^{k}$

3.2.23. Составить различные размещения и сочетания (с повторениями) по два элемента из элементов множества $Q = \{3,4,5\}$ , подсчитать их число.

Решение.

Составляем размещения:

$(3, 4); (4, 3); (3, 3);$

$(3, 5); (5, 3); (5, 5);$

$(4, 5); (5, 4); (4, 4).$

$\overline{A}_{3}^{2} = 3^{2} = 9.$

Составляем сочетания:

$(3, 4); (3, 3);$

$(3, 5); (5, 5);$

$(4, 5); (4, 4).$

$\overline{C}_{3}^{2} = C_{3 + 2 - 1}^{2} = C_{4}^{2} = \frac{4!}{2!(4 - 2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{24}{4} = 6.$

Ответ: 6.

Задачи на размещения с повторениями

3.2.24. Имеется набор из 5 различных карточек с буквами: A, B, C, D и E. Необходимо выбрать 4 карточки из этого набора для составления кодовой комбинации. Сколько различных кодовых комбинаций мы можем создать, если каждая карточка может быть выбрана несколько раз?

Решение.

Порядок, в котором мы выбираем карточки, важен для определения кода.

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для размещений с повторениями, так как карточки могут повторяться. У нас есть 5 различных карточек, которые мы можем выбирать для составления кода, и нам нужно выбрать 4 из них. Таким образом, у нас есть 5 объектов (карточек), которые мы можем разместить в 4 позициях (места для карточек в коде).

Применяя формулу для размещений с повторениями, мы получаем:

$\overline{A}_{5}^{4} = 5^{4} = 625.$

Таким образом, у нас есть 625 различных кодовых комбинаций, которые мы можем создать, учитывая порядок выбора карточек.

Ответ: 625.

3.2.25. Замок с комбинационным кодом состоит из четырех цифр. Каждая цифра в коде может быть от 0 до 9. Какое количество различных комбинаций кода можно создать?

3.2.26. Турист может посетить города New York, Los Angeles, Chicago, Miami, San Francisco. Сколько маршрутов с последовательным посещением трёх городов он может составить?

3.2.27. Есть по одному билету на футбольный матч, в кино и на выставку искусств. Сколькими способами эти билеты можно распределить между четырьмя студентами (если каждый студент может получить любое количество билетов)?

Задачи на сочетания с повторениями

3.2.28. В кафе имеется пять различных видов напитков. Сколькими способами можно сформировать набор из шести напитков?

Решение.

Для решения данной задачи используем формулу сочетаний с повторениями, так как порядок выбора напитков не имеет значения. Важно только то, сколько раз каждый вид напитка включен в набор, а не порядок, в котором они были выбраны. Формула для сочетаний с повторениями выглядит следующим образом:

$\overline{C}_{n}^{k} = C_{n + k - 1}^{k},$

где

$n$ — количество различных элементов (в нашем случае, количество различных видов напитков),

$k$ — количество элементов, которые нужно выбрать (в нашем случае, количество напитков в наборе).

Подставим значения в формулу:

$\overline{C}_{5}^{6} = C_{5 + 6 - 1}^{6} = C_{10}^{6} = \frac{10!}{6! \cdot 4!} = \frac{6! \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10}{6! \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{5040}{24} = 210.$

Ответ. Набор из шести напитков можно сформировать 210 способами.

3.2.29. Имеется корзина с фруктами, а именно с яблоками, грушами и апельсинами. Сколько различных комбинаций фруктов мы можем собрать, если нам нужно выбрать 4 фрукта?

3.2.30. Из коробки с различными цветами карандашей: красные, синие и зелёные выбираются 5 карандашей. Сколько различных комбинаций мы можем получить?

3.2.31. В магазине, который продает пакеты с конфетами, доступны четыре вида конфет: клубничные, яблочные, апельсиновые и виноградные. Каждый пакет содержит 5 конфет. Сколько различных комбинаций пакетов можно собрать?

Перестановки с повторениями

Пусть в множестве из $n$ элементов есть $k$ различных типов элементов, при этом 1-й тип элементов повторяется $n_{1}$ раз, 2-й — $n_{2}$ раз, ..., $k$ -й — $n_{k}$ раз, причем $n_{1} + n_{2} + \ldots + n_{k} = n$ . Тогда перестановки элементов данного множества представляют собой перестановки с повторениями.

Число перестановок с повторениями (иногда говорит о числе разбиений множества) из $n$ элементов обозначается символом $P_{n}(n_{1},n_{2},\ldots,n_{k})$ и вычисляется по формуле:

$P_{n}\left( n_{1},n_{2},\ldots,n_{k} \right) = \frac{n!}{n_{1}! \cdot n_{2}! \cdot \ldots \cdot n_{k}!}$

Задачи на перестановки с повторениями

3.2.32. Составить различные перестановки (с повторениями) из элементов множества $Q = \{3,4,5\}$ , где каждый элемент повторяется по два раза, т. е. $\{3,3,4,4,5,5\}$ .

Составляем перестановки, всего мы получим 90 перестановок. С помощью последовательного перебора, представленного ниже, мы сможем их получить.

Таблица 3.2.1 – Перестановки с повторениями элементов множества Q

3 3 4 4 5 53 3 4 5 4 5

3 3 4 5 5 4

3 3 5 4 4 5

3 3 5 4 5 4

3 3 5 5 4 4

3 4 3 4 5 5

3 4 3 5 4 5

3 4 3 5 5 4

3 4 4 3 5 5

3 4 4 5 3 53 4 4 5 5 3

3 4 5 3 4 5

3 4 5 3 5 4

3 4 5 4 3 5

3 4 5 4 5 3

3 4 5 5 3 4

3 4 5 5 4 3

3 5 3 4 4 5

3 5 3 4 5 4

3 5 3 5 4 43 5 4 3 4 5

3 5 4 3 5 4

3 5 4 4 3 5

3 5 4 4 5 3

3 5 4 5 3 4

3 5 4 5 4 3

3 5 5 3 4 4

3 5 5 4 3 4

3 5 5 4 4 3

4 3 3 4 5 54 3 3 5 4 5

4 3 3 5 5 4

4 3 4 3 5 5

4 3 4 5 3 5

4 3 4 5 5 3

4 3 5 3 4 5

4 3 5 3 5 4

4 3 5 4 3 5

4 3 5 4 5 3

4 3 5 5 3 44 3 5 5 4 3

4 4 3 3 5 5

4 4 3 5 3 5

4 4 3 5 5 3

4 4 5 3 3 5

4 4 5 3 5 3

4 4 5 5 3 3

4 5 3 3 4 5

4 5 3 3 5 4

4 5 3 4 3 54 5 3 4 5 3

4 5 3 5 3 4

4 5 3 5 4 3

4 5 4 3 3 5

4 5 4 3 5 3

4 5 4 5 3 3

4 5 5 3 3 4

4 5 5 3 4 3

4 5 5 4 3 3

5 3 3 4 4 55 3 3 4 5 4

5 3 3 5 4 4

5 3 4 3 4 5

5 3 4 3 5 4

5 3 4 4 3 5

5 3 4 4 5 3

5 3 4 5 3 4

5 3 4 5 4 3

5 3 5 3 4 4

5 3 5 4 3 45 3 5 4 4 3

5 4 3 3 4 5

5 4 3 3 5 4

5 4 3 4 3 5

5 4 3 4 5 3

5 4 3 5 3 4

5 4 3 5 4 3

5 4 4 3 3 5

5 4 4 3 5 3

5 4 4 5 3 35 4 5 3 3 4

5 4 5 3 4 3

5 4 5 4 3 3

5 5 3 3 4 4

5 5 3 4 3 4

5 5 3 4 4 3

5 5 4 3 3 4

5 5 4 3 4 3

5 5 4 4 3 3

Расчет по формуле:

$P_{6}(2, 2, 2) = \frac{6!}{2! \cdot 2! \cdot 2!} = 90.$

3.2.33. Сколько уникальных «слов» (под «словом» понимается любая комбинация букв) можно составить, переставляя буквы в слове «ПРОГРАММИРОВАНИЕ»?

Решение.

Для решения этой задачи мы воспользуемся формулой для перестановок с повторениями, так как в слове «ПРОГРАММИРОВАНИЕ» имеются повторяющиеся буквы:

$P_{n}\left( n_{1},n_{2},\ldots,n_{k} \right) = \frac{n!}{n_{1}! \cdot n_{2}! \cdot \ldots \cdot n_{k}!}$

где

$n$ — общее количество букв (в данном случае 16, так как в слове «ПРОГРАММИРОВАНИЕ» 16 букв),

$n_{1},n_{2},\ldots,n_{k}$ — количество повторений каждой буквы.

Теперь определим количество повторений каждой буквы в слове «ПРОГРАММИРОВАНИЕ»:

— «П» встречается 1 раз,

— «Р» встречается 3 раза,

— «О» встречается 2 раза,

— «Г» встречается 1 раз,

— «А» встречается 2 раза,

— «М» встречается 2 раза,

— «И» встречается 2 раза,

— «В» встречается 1 раз,

— «Н» встречается 1 раз,

— «Е» встречается 1 раз.

Подставим значения в формулу:

$P_{16}(1,3,2,1,2,2,2,1,1,1) = \frac{16!}{1! \cdot 3! \cdot 2! \cdot 1! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1!} =$

$= \frac{16!}{1 \cdot (3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1) \cdot 1 \cdot (2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1) \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1} =$

$= \frac{16!}{1 \cdot 6 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1} = \frac{16!}{192} = 108\,972\,864\,000.$

Таким образом, можно составить 108 972 864 000 уникальных «слов», переставляя буквы в слове «ПРОГРАММИРОВАНИЕ».

3.2.34. Сколько уникальных «слов» (под «словом» понимается любая комбинация букв) можно составить, переставляя буквы в слове «ЭКСПЕРИМЕНТ»?

3.2.35. Сколько уникальных «слов» (под «словом» понимается любая комбинация букв) можно составить, переставляя буквы в слове «КОНТИНГЕНТ»?

3.2.36. Сколько уникальных «слов» (под «словом» понимается любая комбинация букв) можно составить, переставляя буквы в слове «АППАРАТУРА»?

Задания для самостоятельной работы

3.4.1. На выставке автомобилей 12 дизайнеров и 8 инженеров. Нужно выбрать 4 специалиста для разработки различных аспектов новой модели автомобиля: экстерьер, интерьер, двигатель и электронные системы. Сколько существует способов распределения задач, если:

а) все аспекты разрабатывают дизайнеры;

б) три аспекта разрабатывают дизайнеры и один — инженером;

в) один аспект разрабатывает дизайнер и три — инженерами;

г) все аспекты разрабатывают инженеры;

д) все аспекты разрабатываются специалистами одной специализации.

3.4.2. На конкурсе садоводов 9 ландшафтных дизайнеров и 6 ботаников. Нужно выбрать 4 участника для создания различных садовых композиций: декоративный сад, японский сад, травянистый сад и розарий. Сколько существует способов распределения композиций, если:

а) все композиции создают ландшафтные дизайнеры;

б) три композиции создают ландшафтные дизайнеры и одна — ботаником;

в) одна композиция создается ландшафтным дизайнером и три — ботаниками;

г) все композиции создают ботаники;

д) все композиции создаются специалистами одной специализации.

3.4.3. В театральном коллективе 7 актёров драмы и 5 актёров комедии. Для новой постановки нужно выбрать 4 актёра для исполнения ролей: главный герой, антагонист, комический персонаж и второстепенный герой. Сколько существует способов распределения ролей, если:

а) все роли исполняют актёры драмы;

б) три роли исполняют актёры драмы и одна — актёром комедии;

в) одна роль исполняется актёром драмы и три — актёрами комедии;

г) все роли исполняют актёры комедии;

д) все роли исполняются актёрами одного жанра.

3.4.4. В музыкальной школе 9 студентов-пианистов и 6 студентов-скрипачей. Для концерта нужно выбрать 5 участников. Сколько существует способов выбора, при которых:

а) все выбранные участники — пианисты;

б) среди выбранных 3 пианиста и 2 скрипача;

в) хотя бы один скрипач участвует в концерте;

г) ровно 4 пианиста участвуют в концерте.

3.4.5. В команде разработчиков 10 программистов и 5 тестировщиков. Нужно сформировать подгруппу из 6 человек для работы над новым проектом. Сколько существует способов формирования подгруппы, если:

а) все члены подгруппы — программисты;

б) в подгруппе 4 программиста и 2 тестировщика;

в) в подгруппе хотя бы один тестировщик;

г) в подгруппе равное количество программистов и тестировщиков.

3.4.6. На соревнованиях по шахматам участвуют 8 мастеров и 4 кандидата в мастера. Нужно выбрать 4 участника для демонстрационного матча. Сколько существует способов выбора, при которых:

а) все участники — мастера;

б) среди участников 2 мастера и 2 кандидата в мастера;

в) хотя бы один кандидат в мастера участвует в матче;

г) все участники — кандидаты в мастера.

3.4.7. В лотерее разыгрывают 10 призов между 10 победителями. Сколькими способами можно распределить призы?

3.4.8. Имеется 6 видов конфет разных цветов для украшения торта. Сколькими способами вы можете уложить конфеты в ряд на торте?

3.4.9. В музыкальном конкурсе участвуют 6 участников. Сколькими способами можно определить порядок выхода на сцену?

3.4.10. В школе нужно выбрать на каждый день недели по одному ученику для дежурства. Сколькими способами можно это сделать, если один и тот же ученик может дежурить несколько раз?

3.4.11. В магазине имеется в наличии 4 вида различных игрушек. Сколько различных наборов из 6 игрушек можно составить, если порядок игрушек в наборе важен?

3.4.12. Даны четыре цифры: 1, 2, 3 и 4. Сколько различных трехзначных чисел можно составить, если цифры в числе могут повторяться?

3.4.13. В ресторане есть 4 различных вида блюд. Сколько различных комбинаций из 6 блюд можно составить для обеда?

3.4.14. В магазине одежды есть 4 различных цвета футболок. Сколько различных наборов из 5 футболок можно купить?

3.4.15. В игровом центре представлены 3 различных вида аттракционов. Сколько различных комбинаций из 7 аттракционов можно выбрать для посещения в день?

3.4.16. Сколько уникальных «слов» (под «словом» понимается любая комбинация букв) можно составить, переставляя буквы в слове «ШОКОЛАД»?

3.4.17. Сколько уникальных «слов» (под «словом» понимается любая комбинация букв) можно составить, переставляя буквы в слове «АСТРОНОМИЯ»?

3.4.18. Сколько уникальных «слов» (под «словом» понимается любая комбинация букв) можно составить, переставляя буквы в слове «ГЕОГРАФИЯ»?