fbpx

Элементы комбинаторики


Составитель преподаватель кафедры высшей математики Ищанов Т.Р.

Занятие №1. Элементы комбинаторики

Теория.
Правило умножения: если из некоторого конечного множества первый объект (элемент «a») можно выбрать n1 способами, а второй объект (элемент «b») - n2 способами, то оба объекта (a и b) в указанном порядке можно выбрать n_1 \cdot n_2 способами.

Правило сложения: если некоторый объект «a» можно выбрать n1 способами, а объект «b» можно выбрать n2 способами, причем первые и вторые способы не пересекаются, то любой из объектов (a или b) можно выбрать n_1+n_2 способами.

Практический материал.
1.(6.1.44. Л) Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 0; 1; 2; 3; 4 если:
а) цифры не могут повторяться;
б) цифры могут повториться;
в) числа должны быть четными (цифры могут повторяться);
г) число должно делиться на 5 (цифры не могут повторяться)
(Ответ: а) 48; б) 100; в) 60; г) 12)

2. (6.1.2.) Сколько чисел, содержащих не менее трех различных цифр, можно составить из цифр 3; 4; 5; 6; 7? (Ответ: 300.)

3. (6.1.39) Сколько можно составить четырехзначных чисел так, чтобы любые две соседние цифры были различными? (Ответ: 6561)

Теория. Пусть дано множество, состоящее из «n» различных элементов. Размещением из «n» элементов по «k» элементов (0\leq k \leq n) называется любое упорядоченное подмножество данного множества, содержащее «k» элементов.

Два размещения различны, если они отличаются друг от друга либо составом элементов, либо порядком их следования. Число размещений из «n» элементов по «k» обозначаются символом A_n^k и вычисляется по формуле:

    \[A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!},\]


где n!=1·2·3·…·n ,причем 1!=1; 0!=1.

Практический материал.
4. (6.1.9 Л.) Составить различные размещения по два элемента из элементов множества A={3,4,5} и подсчитать их число. (Ответ: 6)

5. (6.1.3 Л) Сколькими способами могут быть распределены три призовых места среди 16 соревнующихся? (Ответ: 3360)

6. (6.1.11. Л) Сколько имеется пятизначных чисел, все цифры у которых различны? Указание: учесть тот факт, что цифры вида 02345, 09782 и т.д. не считаем пятизначными. (Ответ: 27 216)

7. (6.1.12.Л.) Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг (три горизонтальных полосы), если имеется материя 5 различных цветов? (Ответ: 60.)

Теория. Сочетанием из «n» элементов по «k» элементов (0\leq k \leq n) называется любое подмножество данного множества, которое содержит «k» элементов.
Любые два сочетания отличаются друг от друга только составом элементов. Число сочетаний из «n» элементов по «k» обозначается символом C_n^k и вычисляется по формуле:

    \[C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}.\]

Практический материал.
8.(6.1.20.) Составить различные сочетания по два элемента из элементов множества A={3,4,5} и подсчитать их число. (Ответ: 3.)

9. (6.1.25.) Группа туристов из 12 юношей и 7 девушек выбирает по жребию 5 человек для приготовления ужина. Сколько существует способов при которых в эту «пятерку» попадут:
а) одни девушки; б) 3 юноши и 2 девушки;
в) 1 юноша и 4 девушки; г) 5 юношей; д) туристы одного пола.
(Ответ: а) 21; б) 4620; в) 420; г) 792; д) 813.)

Теория. Перестановкой из "n" элементов называется размещение из "n" элементов по "n" элементов. Таким образом, указать ту или иную перестановку данного множества из «n» элементов значит выбрать определенный порядок этих элементов. Поэтому любые две перестановки отличаются друг от друга только порядком следования элементов. Число перестановок из «n» элементов обозначается символом P_n и вычисляется по формуле:

    \[P_n=A_n^n=n!\]

Практический материал.

10.(6.1.14.Л) Составить различные перестановки из элементов множества A={5;8;9}. (Ответ: 6)

11.(6.1.15.Л) Сколькими способами можно расставить на книжной полке десятитомник произведений Д. Лондона, располагая их:
а) в произвольном порядке;
б) так, чтобы 1, 5, 9 тома стояли рядом (в любом порядке);
в) так, чтобы 1, 2, 3 тома не стояли рядом (в любом порядке).
(Ответ: а) 10! б) 8!?3! в) P_{10}-P_8 P_3)

12. (1.6.16.Л.) В комнате имеется 7 стульев. Сколькими способами можно разместить на них 7 гостей? 3 гостя? (Ответ: 5040; 210)

Схема выбора с возвращением.

Теория. Если при упорядоченной выборке "k" элементов из "n", элементы возвращаются обратно, то полученные выборки представляют собой размещения с повторениями. Число всех размещений с повторениями из «n» элементов по "k" обозначается символом \bar A_n^k и вычисляется по формуле: 

    \[\bar A_n^k=n^k.\]

 Если при выборке «k» элементов из «n», элементы возвращаются обратно без последующего упорядочивания (таким образом, одни и те же элементы могут выниматься по нескольку раз, т.е. повторяться), то полученные выборки есть сочетания с повторениями. Число всех сочетаний с повторениями из «n» элементов по «k» обозначается символом \bar C_n^k и вычисляется по формуле:

    \[\bar C_n^k=C^k_{n+k-1}\]

Практический материал.

13.(6.1.29.) Из элементов (цифр) 2, 4, 5 составить все размещения и сочетания с повторениями по два элемента. (Ответ: 9; 6)

14. (6.1.31.Л.) Пять человек вошли в лифт на 1-м этаже девятиэтажного дома. Сколькими способами пассажиры могут выйти из лифта на нужных этажах? (Ответ: \bar A_8^5=8^5=32 768)

15. (6.1.59.Л.) В кондитерской имеется 7 видов пирожных. Сколькими способами можно приобрести в ней: а) 3 пирожных одного вида; б) 5 пирожных? (Ответ: а) 7; б) 462)

Теория. Пусть в множестве из «n» элементов есть «k» различных типов элементов, при этом 1-й тип элементов повторяется n1 раз, 2-й -  n2 раз, . . . , k-й — nk раз, причем n_1+n_2+\cdot\cdot\cdot+n_k=n. Тогда перестановки элементов данного множества представляют собой перестановки с повторениями.
Число перестановок с повторениями (иногда говорит о числе разбиений множества) из n элементов обозначается символом P_n (n_1,n_2,\cdot\cdot\cdot,n_k) и вычисляется по формуле:

    \[P_n (n_1,n_2,\cdot\cdot\cdot,n_k )=\frac{n!}{(n_1 !\cdot n_2 !\cdot ...\cdot n_k !)}\]

Практический материал.

16.(6.1.32.) Сколько различных «слов» (под «словом» понимается любая комбинация букв) можно составить, переставляя буквы в слове АГА? MISSISSIPPI?
Решение.
Вообще из трех букв можно составить P_3=3!=6 различных трехбуквенных «слов». В слове АГА буква «А» повторяется, а перестановка одинаковых букв не меняет «слова». Поэтому число перестановок с повторениями меньше числа перестановок без повторений во столько раз, сколько можно переставлять повторяющиеся буквы. В данном слове две буквы (1-я и 3-я) повторяются; поэтому различных перестановок трехбуквенных «слов» из букв слова АГА можно составить столько:

    \[P_3/P_2 =3!/2!=3.\]

Впрочем, ответ можно получить и проще: P_3 (2,1)=3!/2!1!=3. По этой же формуле найдем число одиннадцатибуквенных «слов» при перестановке букв в слове MISSISSIPPI. Здесь n=11; n1=1; n2=4 (4 буквы S); n3=4 (4 буквы I); n4=2, поэтому

    \[P_{11} (1,4,4,2)=\frac{11!}{1!4!4!2!}=\frac{5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11}{1\cdot 24\cdot 2}=34 650.\]

17.(6.1.38.Л.) Сколько существует различных перестановок букв в слове ТРАКТАТ? А в «слове» АААУУАУУУУ? (Ответ: 420; 210)

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: