fbpx

Определенный интеграл

Скачать лекцию можно по ссылке ниже!

Пусть функция y=f(x) определена на отрезке [a;b] и на этом отрезке произвольно выбраны точки x_0, x_1, \ldots, x_n, так что a=x_0<x_1< \ldots <x_n=b — выбрано разбиение этого отрезка на n частей. В каждом интервале (x_{i-1};x_i] произвольным образом выбрана точка c_i, i=1,2,\ldots, n.

Сумма вида

    \[S_n=\sum_{i=1}^n f(c_i) \Delta x_i,\]

где \Delta x_i=x_i-x_{i-1}, называется интегральной суммой функции f(x) на отрезке [a;b].

Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a;b] называется предел интегральных сумм S_n при условии, что длина наибольшего частичного отрезка \Delta x_i стремится к нулю:

    \[\int_a^b f(x) dx=\lim_{n\to \infty} \sum_{i=1}^n f(c_i) \Delta x_i,\]

при max \Delta x_i \rightarrow 0.

Свойства определенного интеграла:

  1.     \[\int_a^b f(x) dx=-\int_b^a f(x) dx.\]

     
  2.     \[\int_a^a f(x) dx=0.\]

  3. \int_a^b f(x) dx=\int_b^a f(t) dt, т. е. переменную интегрирования можно обозначить любой буквой.
  4.     \[\int_a^b (\left f_1(x)\pm f_2(x) \right) dx=\int_a^b f_1(x)dx \pm \int_a^b f_2(x)dx.\]

  5.     \[\int_a^b c f(x) dx=c \int_a^b f(x) dx.\]

  6.     \[\int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx, \quad a<c<b.\]

  7.  Если f(x)\geq 0 на отрезке [a;b], то \int_a^b f(x)dx\geq 0; если  f(x)\leq 0 для всех точек x \in [a;b], то \int_a^b f(x)dx\leq 0.
  8. Если f(x)\leq g(x) на отрезке [a;b], то \int_a^b f(x)dx\leq \int_a^b g(x)dx.
  9. Если M наибольшее, m — наименьшее значение f(x) на[a;b], то m(b-a)\geq \int_a^b f(x)dx\leq M(b-a). 
  10.  \int_a^b f(x)dx=f(c)(b-a), \quad c\in [a;b] (теорема о среднем).
  11. \big|\int_a^b f(x)dx \big|\leq \int_a^b |f(x)|dx.
  12. \left(\int_a^x f(t)dt\right)^{'}_{x}=f(x).

Формула Ньютона-Лейбница

Если для непрерывной на отрезке [a;b] функции f(x) может быть найдена ее первообразная F(x), то простым и удобным методом вычисления определенного интеграла \int_a^b f(x)dx  является формула Ньютона-Лейбница:

    \[\int_a^b f(x)dx=F(x)\big|_a^b=F(b)-F(a).\]

Вычислите следующие интегралы:

9.1.3. \int_0^{\pi} (2x+sin2x)dx.

9.1.4. \int_0^{lg2} 2^x\cdot 5^x dx.

9.1.5. \int_2^5 \frac{1}{2x-3}dx. 

9.1.6. \int_1^2 \frac{x+2}{3-x}dx.

9.1.7. \int_1^e \frac{x+\sqrt{x}}{x\sqrt{x}}dx.

9.1.8. \int_0^1 \frac{x-4}{\sqrt{x}-2}dx.

9.1.9. \int_1^5 \frac{x}{1+x^2}dx.

9.1.10. \int_{0,5}^1 \sqrt{4x-2}dx.

9.1.11. \int_0^2 x\sqrt{9-\frac94x^2}dx.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
ischanow.com
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: