Определенный интеграл

Скачать лекцию можно по ссылке ниже!

Opredelennye-i-nesobstvennye-integralyСкачать

Пусть функция $y=f(x)$ определена на отрезке $[a;b]$ и на этом отрезке произвольно выбраны точки $x_0, x_1, \ldots, x_n$ , так что $a=x_0<x_1< \ldots <x_n=b$ — выбрано разбиение этого отрезка на $n$ частей. В каждом интервале $(x_{i-1};x_i]$ произвольным образом выбрана точка $c_i, i=1,2,\ldots, n.$

Сумма вида

$S_n=\sum_{i=1}^n f(c_i) \Delta x_i,$

где $\Delta x_i=x_i-x_{i-1},$ называется интегральной суммой функции $f(x)$ на отрезке $[a;b]$ .

Определенным интегралом от функции $f(x)$ на отрезке $[a;b]$ называется предел интегральных сумм $S_n$ при условии, что длина наибольшего частичного отрезка $\Delta x_i$ стремится к нулю:

$\int_a^b f(x) dx=\lim_{n\to \infty} \sum_{i=1}^n f(c_i) \Delta x_i,$

при $max \Delta x_i \rightarrow 0.$

Свойства определенного интеграла:

$\int_a^b f(x) dx=-\int_b^a f(x) dx.$
$\int_a^a f(x) dx=0.$
$\int_a^b f(x) dx=\int_b^a f(t) dt,$ т. е. переменную интегрирования можно обозначить любой буквой.
$\int_a^b (\left f_1(x)\pm f_2(x) \right) dx=\int_a^b f_1(x)dx \pm \int_a^b f_2(x)dx.$
$\int_a^b c f(x) dx=c \int_a^b f(x) dx.$
$\int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx, \quad a<c<b.$
Если $f(x)\geq 0$ на отрезке $[a;b]$ , то $\int_a^b f(x)dx\geq 0$ ; если $f(x)\leq 0$ для всех точек $x \in [a;b]$ , то $\int_a^b f(x)dx\leq 0.$
Если $f(x)\leq g(x)$ на отрезке $[a;b]$ , то $\int_a^b f(x)dx\leq \int_a^b g(x)dx.$
Если $M$ наибольшее, $m$ — наименьшее значение $f(x)$ на $[a;b]$ , то $m(b-a)\geq \int_a^b f(x)dx\leq M(b-a).$
$\int_a^b f(x)dx=f(c)(b-a), \quad c\in [a;b]$ (теорема о среднем).
$\big|\int_a^b f(x)dx \big|\leq \int_a^b |f(x)|dx.$
$\left(\int_a^x f(t)dt\right)^{'}_{x}=f(x).$

Формула Ньютона-Лейбница

Если для непрерывной на отрезке $[a;b]$ функции $f(x)$ может быть найдена ее первообразная $F(x)$ , то простым и удобным методом вычисления определенного интеграла $\int_a^b f(x)dx$ является формула Ньютона-Лейбница: