Вариант-13 | РГР Кратные интегралы

1. Изменить порядок интегрирования

$\ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}dy\int_{0}^{\sin{y}}f\left(x;y\right)dx+\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}dy\int_{0}^{\cos{y}}f\left(x;y\right)dx$

2. Вычислить интеграл по заданной области интегрирования

$\iint_{D}\left(12xy+27x^2y^2\right)dxdy\ \ D:x=1;y=x^2;y=-\sqrt[3]{x}\left(x\geq0\right)$

3. Вычислить интеграл по заданной области интегрирования

$\iint_{D}{ye^{\frac{xy}{4}}dxdy}\ \ D:y=\ln{2};y=\ln{3};x=4;x=8$

4. Вычислить интеграл по заданной области интегрирования

$\ \iiint_{V}{\frac{dxdydz}{\left(1+\frac{x}{10}+\frac{y}{8}+\frac{z}{3}\right)^6}\ }\ V:\frac{x}{10}+\frac{y}{8}+\frac{z}{3}=1;x=0;y=0;z=0$

5. С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями

$y=20-x^2;y=-8x$

6. Найти массу плоской пластины, ограниченной данными линиями, если задана ее плотность $\rho=\rho\left(x;y\right)$

$\ \ D:x^2+y^2=4;x^2+y^2=16;x=0;y=0\left(x\geq0;y\le0\right);$

$\rho\left(x;y\right)=\frac{3x-y}{x^2+y^2}$

7. Вычислить объем тела, ограниченного данными поверхностями

$\ \ x^2+y^2=50;x=\sqrt{5y};x=0;z=0;z=\frac{6y}{11}$

8. Вычислить объем тела, ограниченного данными поверхностями

$z=\sqrt{36-x^2-y^2};z=\sqrt{\frac{\left(x^2+y^2\right)}{63}}$

9. Найти координаты центра тяжести плоской пластины, ограниченной данными линями, если ее плотностью $\rho=\rho\left(x;y\right)$

$x=2;y=0;y^2=\frac{x}{2}\left(y\geq0\right);\ \rho=8y+\frac{7x^2}{2}$

10. Найти массу тела, ограниченного данными поверхностями, если задана плотность $\mu=\mu\left(x;y;z\right)$

$\ x^2+y^2=1;x^2+y^2=6z;x=0;y=0;z=0\left(x\geq0;y\geq0\right);$

$\mu=90y$