Вариант-19 | РГР Кратные интегралы

1. Изменить порядок интегрирования

$\ \int_{0}^{\sqrt3}dx\int_{\sqrt{4-x^2}-2}^{0}f\left(x;y\right)dy+\int_{\sqrt3}^{2}dx\int_{-\sqrt{4-x^2}}^{0}{f\left(x;y\right)dy}$

2. Вычислить интеграл по заданной области интегрирования

$\ \iint_{D}\left(4xy+76x^3y^3\right)dxdy\ \ D:x=1;y=\sqrt[3]{x};y=-x^3$

3. Вычислить интеграл по заданной области интегрирования

$\iint_{D}{8ye^{4xy}}\ \ D:y=\ln{3};y=\ln{4};x=\frac{1}{4};x=\frac{1}{2}$

4. Вычислить интеграл по заданной области интегрирования

$\iiint_{V}\frac{dxdydz}{\left(1+\frac{x}{16}+\frac{y}{8}+\frac{z}{3}\right)^5}\ \ V:\frac{x}{16}+\frac{y}{8}+\frac{z}{3}=1;x=0;y=0;z=0$

5. С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями

$y=6-\sqrt{36-x^2;}\ y=\sqrt{36-x^2};x=0\left(x\geq0\right)$

6. Найти массу плоской пластины, ограниченной данными линиями, если задана ее плотность $\rho=\rho\left(x;y\right)$

$\ \ D:x^2+y^2=1;x^2+y^2=25;x=0;y=0\ \left(x\le0;y\geq0\right)\ \ \rho\left(x;y\right)=\frac{-2x+4y}{x^2+y^2}$

7. Вычислить объем тела, ограниченного данными поверхностями

$\ x^2+y^2=2y;z=\frac{9}{4}-x^2;z=0$

8. Вычислить объем тела, ограниченного данными поверхностями (внутри цилиндра)

$\ z=\sqrt{100-x^2-y^2};z=6;x^2+y^2=51$

9. Найти координаты центра тяжести плоской пластины, ограниченной данными линями, если ее плотностью $\rho=\rho\left(x;y\right)$

$x=1;y=0;y^2=16x\left(y\geq0\right);\ \ \rho=y+3x^2$

10. Найти массу тела, ограниченного данными поверхностями, если задана плотность $\mu=\mu\left(x;y;z\right)$

$\ x^2+y^2=\frac{z^2}{49};x^2+y^2=\frac{z}{7};x=0;y=0\left(x\geq0;y\geq0\right);\mu=10xz$